Le but de cet exercice est de déterminer la limite suivante :
\lim\limits_{x \to 0}f\left(x\right)
Où f est la fonction définie pour tout réel x de \left]-1,+\infty \right[\backslash\left\{ 0 \right\} par :
f\left(x\right) = \dfrac{\ln\left(1+x\right)}{x}
Pour tout réel x de \left]-1,+\infty \right[\backslash\left\{ 0 \right\}, quelle expression de f\left(x\right) sous la forme du taux d'accroissement d'une fonction g entre un réel a et x ?
Soit x un réel de \left]-1,+\infty \right[\backslash\left\{ 0 \right\}.
Comme \ln\left(1+0\right)=\ln\left(1\right)=0, on a :
f\left(x\right)=\dfrac{\ln\left(1+x\right)-\ln\left(1+0\right)}{x-0}
En notant g la fonction t\longmapsto \ln\left(1+t\right) et en posant a=0 :
f\left(x\right)=\dfrac{g\left(x\right)-g\left(a\right)}{x-a}
f\left(x\right) est donc le taux d'accroissement de la fonction g entre a et x.
Pour tout réel x de \left]-1,+\infty \right[\backslash\left\{ 0 \right\}, f\left(x\right) peut s'écrire sous la forme du taux d'accroissement de la fonction t\longmapsto \ln\left(1+t\right) entre 0 et x.
Quelle valeur de la limite suivante peut-on en déduire ?
\lim\limits_{x \to 0}f\left(x\right)
La fonction g:x\longmapsto \ln\left(1+x\right) est dérivable sur \left]-1,+\infty \right[ et, pour tout réel x de \left]-1,+\infty \right[ :
g^{'}\left(x\right)=\dfrac{1}{1+x}
Donc, la fonction g est dérivable en 0 et :
g^{'}\left(0\right)=1
Le taux d'accroissement de la fonction g entre 0 et x tend donc vers 1 quand x tend vers 0, soit :
\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{g\left(x\right)-g\left(0\right)}{x-0}=1
D'après le résultat de la question précédente, on peut conclure :
\lim\limits_{x \to 0}f\left(x\right)=1