Le but de cet exercice est de déterminer la limite suivante :
\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}}f\left(x\right)
Où f est la fonction définie pour tout x différent de \dfrac{\pi}{2} par :
f\left(x\right) = \dfrac{\cos\left(x\right)}{x-\dfrac{\pi}{2}}
Pour tout réel x différent de \dfrac{\pi}{2}, quelle est l'expression de f\left(x\right) sous la forme du taux d'accroissement d'une fonction g entre un réel a et x ?
Soit x un réel différent de \dfrac{\pi}{2}.
Comme \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0, on a :
f\left(x\right)=\dfrac{\cos\left(x\right)-\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)}{x-\dfrac{\pi}{2}}
En notant g la fonction cos et en posant a=\dfrac{\pi}{2} :
f\left(x\right)=\dfrac{g\left(x\right)-g\left(a\right)}{x-a}
f\left(x\right) est donc le taux d'accroissement de la fonction g entre a et x.
Pour tout réel x différent de \dfrac{\pi}{2}, f\left(x\right) peut s'écrire sous la forme du taux d'accroissement de la fonction \cos entre \dfrac{\pi}{2} et x.
Quelle valeur de la limite suivante peut-on en déduire ?
\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}}f\left(x\right)
La fonction \cos est dérivable sur \mathbb{R} et, pour tout réel x :
\left(\cos\right)^{'}\left(x\right)=-\sin\left(x\right)
Donc, la fonction \cos est dérivable en \dfrac{\pi}{2} et :
\left(\cos\right)^{'}\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=-1
Le taux d'accroissement de la fonction \cos entre \dfrac{\pi}{2} et x tend donc vers -1 quand x tend vers \dfrac{\pi}{2}, soit :
\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos\left(x\right)-\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)}{x-\dfrac{\pi}{2}}=-1
D'après le résultat de la question précédente, on peut conclure :
\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}}f\left(x\right)=-1