Le but de cet exercice est de déterminer la limite suivante :
\lim\limits_{x \to 4}f\left(x\right)
Où f est la fonction définie pour tout réel x de \left]0,+\infty \right[\backslash\left\{ 4 \right\} par :
f\left(x\right) = \dfrac{\ln\left(x\right)-2\ln\left(2\right)}{x-4}
Pour tout réel x de \left]0,+\infty \right[\backslash\left\{ 4 \right\}, quelle est l'expression de f\left(x\right) sous la forme du taux d'accroissement d'une fonction g entre un réel a et x ?
Soit x un réel de \left]0,+\infty \right[\backslash\left\{ 4 \right\}.
Comme 2\ln\left(2\right)=\ln\left(2^2\right)=\ln\left(4\right), on a :
f\left(x\right)=\dfrac{\ln\left(x\right)-\ln\left(4\right)}{x-4}
En notant g la fonction t\longmapsto \ln\left(t\right) et en posant a=4 :
f\left(x\right)=\dfrac{g\left(x\right)-g\left(a\right)}{x-a}
f\left(x\right) est donc le taux d'accroissement de la fonction g entre a et x.
Pour tout réel x de \left]0,+\infty \right[\backslash\left\{ 4 \right\}, f\left(x\right) peut s'écrire sous la forme du taux d'accroissement de la fonction t\longmapsto \ln\left(t\right) entre 4 et x.
Quelle valeur de la limite suivante peut-on en déduire ?
\lim\limits_{x \to 4}f\left(x\right)
La fonction g:x\longmapsto \ln\left(x\right) est dérivable sur \left]0,+\infty \right[ et, pour tout réel x de \left]0,+\infty \right[ :
g^{'}\left(x\right)=\dfrac{1}{x}
Donc, la fonction g est dérivable en 4 et :
g^{'}\left(4\right)=\dfrac{1}{4}
Le taux d'accroissement de la fonction g entre 4 et x tend donc vers \dfrac{1}{4} quand x tend vers 4, soit :
\lim\limits_{x \to 4}\dfrac{g\left(x\right)-g\left(4\right)}{x-4}=\dfrac{1}{4}
D'après le résultat de la question précédente, on peut conclure :
\lim\limits_{x \to 4}f\left(x\right)=\dfrac{1}{4}