Le but de cet exercice est de déterminer la limite suivante :
\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{6}}f\left(x\right)
Où f est la fonction définie pour tout x différent de \dfrac{\pi}{6} par :
f\left(x\right) = \dfrac{\sin\left(x\right)-\dfrac{1}{2}}{x-\dfrac{\pi}{6}}
Pour tout réel x différent de \dfrac{\pi}{6}, quelle est l'expression de f\left(x\right) sous la forme du taux d'accroissement d'une fonction g entre un réel a et x ?
Soit x un réel différent de \dfrac{\pi}{6}.
Comme \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}, on a :
f\left(x\right)=\dfrac{\sin\left(x\right)-\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)}{x-\dfrac{\pi}{6}}
En notant g la fonction sin et en posant a=\dfrac{\pi}{6} :
f\left(x\right)=\dfrac{g\left(x\right)-g\left(a\right)}{x-a}
f\left(x\right) est donc le taux d'accroissement de la fonction g entre a et x.
Pour tout réel x différent de \dfrac{\pi}{6}, f\left(x\right) peut s'écrire sous la forme du taux d'accroissement de la fonction \sin entre \dfrac{\pi}{6} et x.
Quelle valeur de la limite suivante peut-on en déduire ?
\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{6}}f\left(x\right)
La fonction \sin est dérivable sur \mathbb{R} et, pour tout réel x :
\left(\sin\right)^{'}\left(x\right)=\cos\left(x\right)
Donc, la fonction \sin est dérivable en \dfrac{\pi}{6} et :
\left(\sin\right)^{'}\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
Le taux d'accroissement de la fonction \sin entre \dfrac{\pi}{6} et x tend donc vers \dfrac{\sqrt{3}}{2} quand x tend vers \dfrac{\pi}{6}, soit :
\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{6}}\dfrac{\sin\left(x\right)-\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)}{x-\dfrac{\pi}{6}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
D'après le résultat de la question précédente, on peut conclure :
\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{6}}f\left(x\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}