Les compagnies aériennes décident souvent de vendre plus de places qu'il n'y a de places disponibles dans leurs avions, pour éviter le manque à gagner en cas de désistements. On suppose ici que la compagnie KartAir propose un vol Paris-Rio de 300 places.
On estime la probabilité de désistement des passagers de 10 %. On note n le nombre de réservations que la compagnie a enregistrées, et S_n le nombre de passagers ne s'étant pas désistés.
On cherche à trouver la valeur n de tickets à vendre pour que la probabilité que le nombre de passagers se présentant à l'embarquement ne dépasse pas la capacité de l'avion soit inférieur à 99 %, c'est-à-dire pour que la compagnie ne paye aucun dédommagement.
Quelle est la condition que souhaite avoir la compagnie aérienne ?
Pour avoir 99 % de chance de ne pas avoir à payer de dédommagement, la compagnie souhaite que le nombre de passagers se présentant à l'embarquement soit inférieur à 300 avec plus de 99 % de chance.
Cette condition s'écrit : P\left( S_n \leq 300 \right) \geq 0{,}99 .
Quelle est la loi de S_n ?
La variable aléatoire S_n représente le nombre de passagers qui se sont présentés.
On estime la probabilité de désistement des passagers de 10 %.
Chaque passager qui se présente suit une épreuve de Bernoulli avec une probabilité de succès de 90 %.
Or, on a vendu des tickets à n passagers. La répétition de ces épreuves est donc un schéma de Bernoulli qui suit :
La loi de S_n est donc une loi binomiale de paramètre \mathcal{B}(n; 0{,}9) .
On admet que la variable T_n = \dfrac{S_n - m}{\sigma} suit une loi normale centrée réduite, avec m l'espérance de S_n et \sigma son écart-type.
Que valent m et \sigma ?
L'espérance d'une loi binomiale de paramètres \mathcal{B}(n;0{,}9) est m = n \times 0{,}9 .
L'écart-type d'une loi binomiale de paramètres \mathcal{B}(n;0{,}9) est \sigma = \sqrt{n \times 0{,}9 \times (1-0{,}9)} = 0{,}3 \sqrt{n} .
Ainsi, m = 0{,}9n , \sigma = 0{,}3 \sqrt{n} .
Quelle inégalité est vraie pour n si S_n \leq 300 ?
Donnée : on a P(T_n \leq t) = 0{,}99 si t = 2{,}33 .
On a :
S_n \leq 300 \Leftrightarrow \dfrac{S_n - 0{,}9 n}{0{,}3 \sqrt{n}} \leq \dfrac{300 - 0{,}9n}{0{,}3\sqrt{n}}
S_n \leq 300 \Leftrightarrow T_n \leq \dfrac{300 - 0{,}9n}{0{,}3\sqrt{n}}
Or, on a P(T_n \leq t) = 0{,}99 si t = 2{,}33 donc :
S_n \leq 300 \Leftrightarrow \dfrac{300 - 0{,}9n}{0{,}3\sqrt{n}} \geq 2{,}33
S_n \leq 300 \Leftrightarrow 300 - 0{,}9n \geq 2{,}33 \times 0{,}3\sqrt{n}
S_n \leq 300 \Leftrightarrow 300 - 0{,}9n \geq 0{,}699 \sqrt{n} , qui donne 0\geq 0{,}9n+0{,}699\sqrt{n}-300.
Donc S_n \leq 300 \Leftrightarrow 0{,}9n + 0{,}699 \sqrt{n} - 300 \leq 0 .
Combien de tickets la compagnie KartAir doit-elle vendre pour avoir 99 % de chance de ne pas payer de dédommagement ?
On cherche les solutions de l'inéquation (I) : 0{,}9n + 0{,}699 \sqrt{n} - 300 \leq 0 .
Soit n \in \mathbb{N} tel que :
0{,}9n + 0{,}699 \sqrt{n} - 300 \leq 0
On note X = \sqrt{n} .
On commence par résoudre :
0{,}9 X^2 + 0{,}699 X - 300 = 0
On a un polynôme du second degré dont on cherche les racines :
\Delta = b^2 - 4ac = (0{,}699)^2 - 4 \times 0{,}9 \times (-300) = \text{1 080{,}5}
Donc :
x_1 = \dfrac{-0{,}699 - \sqrt{\text{1 080{,}5}}}{2 \times 0{,}9} \approx -18{,}6
et
x_2 = \dfrac{-0{,}699 + \sqrt{\text{1 080{,}5}}}{2 \times 0{,}9} \approx 17{,}87
La seule solution positive est x_2 .
Ainsi, (I) est vraie si :
n \leq 17{,}87^2
n \leq 319
La compagnie doit donc vendre au maximum 319 tickets pour n'avoir que 1 % de chance de payer un dédommagement.