On considère l'expérience aléatoire suivante :
Un collectionneur de pièces de monnaies achète un énorme lot de nouvelles pièces rares et anciennes. Le vendeur lui assure que parmi ce lot, 5 % des pièces sont des pièces d'origine française.
Le collectionneur tire successivement 80 pièces du sac en les remettant après avoir vu leur origine.
On note X le nombre de pièces françaises tirées.
Quelle est la loi de X ?
L'expérience « tirer 80 fois une pièce de monnaie avec remise » correspond à l'enchaînement de 80 expériences de Bernoulli avec remise, donc 80 expériences de Bernoulli identiques et indépendantes.
La probabilité de succès « tirer une pièce d'origine française » est d'après l'énoncé de 5 %.
La variable X suit donc une loi binomiale de paramètres (p=\text{0{,}05}) et (n=80).
Quelle est la probabilité d'obtenir au cours de ces 80 tirages au moins une fois une pièce de monnaie d'origine française ?
Soit B l'événement dont on recherche la probabilité.
On peut partitionner l'univers comme suit :
- A : « Le collectionneur ne tire aucune pièce française »
- B : « Le collectionneur tire au moins une pièce française »
A et B sont ainsi des événements complémentaires et on peut donc écrire :
P(B)=P(\bar{A})=1-P(A)
Or, l'événement A correspond au fait de ne tirer aucune pièce française donc il correspond à l'événement X=0, puisque X compte le nombre de pièces françaises obtenues.
On connaît de plus la loi de X et on peut donc calculer :
P(A)=P(X=0)=\begin{pmatrix}80\cr 0 \end{pmatrix} p^0(1-p)^80 = \text{0{,}95}^80\simeq \text{0{,}0165}
Finalement :
P(B) = 1-P(A)=1-\text{0{,}0165}=\text{0{,}9835}
Le collectionneur a donc 98,35 % de chance de tirer au moins une pièce d'origine française.
D'après la table de probabilités cumulées suivante, quel est l'intervalle de fluctuation à 95 % de la fréquence correspondant à X ?
L'intervalle de fluctuation recherché étant de niveau de confiance 95 %, on cherche à rejeter les 2,5 % trop élevés, ainsi que les 2,5 % trop faibles. En s'intéressant à la colonne de la table de probabilités cumulées pour p=\text{0{,}05}, on repère les probabilités juste au-dessus de 0,025 et de 0,0975.
Il s'agit ainsi ici des résultats à la seconde ligne (où la probabilité de tirer une pièce française est de 0,08605) et à l'avant-dernière ligne (où la probabilité de tirer 8 pièces françaises est de 0,98160).
Ainsi, on admet que, pour 80 expériences, un nombre de pièces françaises compris entre 1 et 8 ne contredit pas l'hypothèse p=\text{0{,}05}.
L'intervalle de fluctuation à 95 % est donc [\![1\,;8]\!].
Le collectionneur réalise les 80 tirages et ne tire que 2 pièces françaises.
Peut-il affirmer à un niveau de confiance 95 % que le vendeur lui a menti ?
Le collectionneur s'attendait sûrement à atteindre l'espérance de X qui est de n\times p = 4 en réalisant 80 fois le tirage. Néanmoins, comme 2\in [\![2\,;8]\!], qui est l'intervalle de fluctuation à 95 % déterminé à la question précédente, ce résultat de 2 pièces françaises sur 80 tirages ne permet pas d'affirmer que le vendeur a menti.
On ne peut donc pas affirmer que le vendeur a menti à un niveau de confiance 95 %.