La loi binomialeCours

I

Les successions d'épreuves indépendantes

De nombreuses expériences aléatoires sont constituées d'une succession de plusieurs épreuves indépendantes. Dans ce type de cas, la visualisation des issues à l'aide d'un arbre est pratique et le calcul de la probabilité d'un événement élémentaire est un produit. 

Univers d'une succession d'épreuves indépendantes

Soit E_1, E_2, ..., E_n une succession d'épreuves indépendantes d'univers respectifs \Omega_1, \Omega_2, ..., \Omega_n.

L'univers des issues de cette succession d'épreuves est le produit cartésien \Omega_1\times \Omega_2\times ...\times \Omega_n, c'est-à-dire l'ensemble des n-uplets (i_1, i_2, ..., i_n) où chaque issue i_p est une issue de l'univers \Omega_p.

Dans un restaurant scolaire, les élèves doivent choisir une entrée, un plat et un dessert.

Ils ont le choix suivant un jour donné :

  • Entrées = {Carottes, Melon, Avocat}
  • Plats = {Poisson, Bœuf}
  • Desserts = {Flan, Yaourt, Pomme}

 

Le choix d'une entrée, d'un plat et d'un dessert est une succession de trois épreuves indépendantes.

L'univers des issues possibles est le produit cartésien \text{Entrées} \times \text{Plats}\times \text{Desserts}, c'est-à-dire l'ensemble des triplets (Entrée, Plat, Dessert), avec \text{Entrée}\in \text{Entrées}\text{Plat}\in \text{Plats} et \text{Dessert}\in \text{Desserts}.

On peut représenter les différentes issues possibles à l'aide de l'arbre ci-dessous :

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Soit E_1, E_2, ..., E_n une succession d'épreuves indépendantes d'univers respectifs \Omega_1, \Omega_2, ..., \Omega_n et soit \Omega=\Omega_1\times \Omega_2\times ...\times \Omega_n.

Soit un événement élémentaire (ne contenant qu'une issue) de l'univers \Omega : A=\left\{(i_1, i_2, ..., i_n)\right\}.

Alors la probabilité de l'événement A est le produit des probabilités des événements \left\{i_1\right\}\left\{i_2\right\}, ..., \left\{i_n\right\} calculées dans leur univers respectif.

On considère les deux expériences suivantes :

E_1 : On lance une pièce de monnaie équilibrée. On note P (respectivement F) l'issue « Pile » (respectivement « Face »).

E_2 : On lance un dé cubique équilibré dont deux faces sont bleues et les autres sont rouges. On note B (respectivement R) l'issue « Bleu » (respectivement « Rouge »).

On peut visualiser la succession de ces deux expériences par l'arbre ci-dessous :

-

La probabilité de l'événement \{P;B\} est égale à :
\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}

II

Les lois de Bernoulli

Lors d'une expérience aléatoire, on est souvent amené à considérer une issue comme étant le « succès », et donc les autres issues comme correspondant à un « échec ». Une épreuve est donc souvent ramenée à une épreuve n'ayant que deux issues : le succès et l'échec.

Épreuve de Bernoulli

Soit p un réel compris entre 0 et 1.

On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre p toute expérience aléatoire ne comptant que deux issues (l'une nommée « succès », l'autre « échec ») dont la probabilité que le « succès » se réalise est p.

Lors d'un jeu de dés, on lance une fois un dé cubique et équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.

On gagne si on obtient un 6.

Comme le dé est équilibré, la probabilité de gagner est \dfrac{1}{6}.

Il s'agit donc d'une épreuve de Bernoulli de paramètre p=\dfrac{1}{6}.

Loi de Bernoulli

Soit un réel p compris entre 0 et 1.

On dit qu'une variable X suit la loi de Bernoulli de paramètre p si :

  • les valeurs prises par X sont 0 et 1 ;
  • P(X=1)=p.

Lors d'un jeu de dés, on lance une fois un dé cubique et équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.

On gagne si on obtient un 6.

Comme le dé est équilibré, la probabilité de gagner est de \dfrac{1}{6}.

La variable aléatoire X prenant la valeur 1 lorsque l'on obtient un 6 et 0 sinon suit donc la loi de Bernoulli de paramètre \dfrac{1}{6}.

Soit p un nombre réel compris entre 0 et 1.

Si X est une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli de paramètre p, on note :
X \hookrightarrow\mathcal{B}(p)

III

Les lois binomiales

Lors d'une succession d'épreuves indépendantes et identiques, il est fréquent de compter des « succès » ou de chercher la probabilité d'obtenir un nombre de « succès » donné.

Schéma de Bernoulli

Soit p un nombre réel compris entre 0 et 1.

On appelle schéma de Bernoulli de paramètres (n;p) une succession indépendante de n épreuves de Bernoulli identiques de paramètre p.

Soit l'épreuve de Bernoulli consistant à lancer un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et pour laquelle le succès correspond à l'obtention d'un 6.

En répétant 20 fois cette épreuve de façon indépendante, on obtient un schéma de Bernoulli de paramètres \left(20;\dfrac{1}{6}\right).

Loi binomiale

Soient n un entier naturel non nul et p un réel entre 0 et 1.

Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de succès sur un schéma de Bernoulli de paramètres (n;p).

On dit que X suit la loi binomiale de paramètres n et p.

On note X \hookrightarrow\mathcal{B}(n;p).

Soit l'épreuve de Bernoulli consistant à lancer un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et pour laquelle le succès correspond à l'obtention d'un 6.

En répétant 20 fois cette épreuve de façon indépendante, on obtient un schéma de Bernoulli de paramètres \left(20;\dfrac{1}{6}\right).

La variable aléatoire X qui compte le nombre de succès obtenus lors de cette succession de 20 épreuves de Bernoulli suit la loi binomiale de paramètres 20 et \dfrac{1}{6}.

On note X \hookrightarrow\mathcal{B}\left(20;\dfrac{1}{6}\right).

Soient n un entier naturel non nul et p un réel entre 0 et 1.

Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres n et p.

Alors pour tout entier k compris entre 0 et n, on a :

P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}

Soient n un entier naturel non nul et p un réel entre 0 et 1.

Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres n et p.

On peut représenter le schéma de Bernoulli par l'arbre suivant dans lequel S représente un succès et \overline{S} un échec :

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Soit k un entier compris entre 0 et n.

Sur chaque chemin de l'arbre contenant exactement k succès, on compte k fois la probabilité p et n-k fois la probabilité 1-p.

La probabilité de l'événement correspondant à un tel chemin est donc p^k(1-p)^{n-k}.

Or le nombre de chemins de l'arbre contenant exactement k succès correspond au nombre de parties à k éléments d'un ensemble en contenant n, soit le coefficient binomial \binom{n}{k}.

Comme chacun des chemins contenant exactement k succès correspond à un événement incompatible avec les autres, la probabilité d'obtenir k succès est la somme des probabilités des événements correspondant à ces chemins.

On a donc bien :
P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}

Soient n un entier naturel non nul et p un réel entre 0 et 1.

Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres n et p.

Si l'on représente un diagramme en bâtons constitué en abscisses du nombre de succès possibles et en ordonnées de la probabilité correspondante, on obtient ce type de graphique :

Avec n=50 et p=0{,}3, on obtient :

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