Un agriculteur dispose de 2400 m de grillage avec lesquels il souhaite clôturer deux terrains : un premier rectangle de largeur x et de longueur y et un autre rectangle de largeur x et de longueur 3y.
Quelles sont les dimensions des deux rectangles pour que l'aire des terrains clôturés soit maximale ?
Soit A l'aire des deux terrains.
- L'aire du premier terrain rectangle est : xy
- L'aire du deuxième terrain rectangle est : 3xy
Ainsi, on a : A=xy+3xy=4xy
Cette expression dépend de deux variables. Pour étudier son maximum, on peut au préalable chercher à se ramener à une expression avec une seule variable.
Exprimer l'aire en fonction de x
On sait que le périmètre total des terrains clôturés est égal à 2400 m.
- Le périmètre du terrain carré est : 2x+2y
- Le périmètre du terrain rectangulaire est : 2x+6y
Ainsi on a :
2x+2y+2x+6y=2\ 400
\Leftrightarrow4x+8y=2\ 400
\Leftrightarrow 0{,}5x+y=300
\Leftrightarrow y=300-0{,}5x
Comme x et y représentent des longueurs, on a : x\geqslant0 et y\geqslant0\Leftrightarrow300-0{,}5x\geqslant0\Leftrightarrow x\leqslant600
Ainsi, on peut exprimer l'aire uniquement en fonction de x, sur \left[ 0;600 \right] :
A\left(x\right)=4x\left(300-0{,}5x\right)
A\left(x\right)=-2x^2+1\ 200x
Etudier la fonction A\left(x\right)
A est une fonction trinôme donc elle est dérivable sur son ensemble de définition.
Ainsi, pour tout x\in\left[ 0;600 \right], on a : A'\left(x\right)=-4x+1\ 200
On a :
-4x+1\ 200\gt0\Leftrightarrow-4x\gt-1\ 200\Leftrightarrow4x\lt1\ 200\Leftrightarrow x\lt300
Une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive, et décroissante lorsque sa dérivée est négative, on obtient donc le tableau de variations suivant :
L'aire des terrains est donc maximale pour :
- x=300
- y=300-0{,}5\times300=300-150=150
Quelle est la valeur de cette aire maximale ?
L'aire maximale est atteinte pour x=300
A\left(300\right)=-2\times300^2+1\ 200\times300=180\ 000
L'aire maximale des deux terrains est donc égale à : 180 000 m^2.