Un agriculteur dispose de 1400 m de grillage avec lesquels il souhaite clôturer deux terrains : un carré de côté x et un rectangle de largeur 2x et de longueur y.
Quelles sont les dimensions du carré et du rectangle pour que l'aire des terrains clôturés soit maximale ?
Soit A l'aire des deux terrains.
- L'aire du terrain carré est : x^2
- L'aire du terrain rectangle est : 2xy
Ainsi, on a : A=x^2+2xy
Cette expression dépend de deux variables. Pour étudier son maximum, on peut au préalable chercher à se ramener à une expression avec une seule variable.
Exprimer l'aire en fonction de x
On sait que le périmètre total des terrains clôturés est égal à 1400 m.
- Le périmètre du terrain carré est : 4x
- Le périmètre du terrain rectangulaire est : 4x+2y
Ainsi on a :
4x+4x+2y=1\ 400
\Leftrightarrow 8x+2y=1\ 400
\Leftrightarrow 4x+y=700
\Leftrightarrow y=700-4x
Comme x et y représentent des longueurs, on a : x\geqslant0 et y\geqslant0\Leftrightarrow700-4x\geqslant0\Leftrightarrow x\leqslant\dfrac{700}{4}=175
Ainsi, on peut exprimer l'aire uniquement en fonction de x, sur \left[ 0;175 \right] :
A\left(x\right)=x^2+2x\left(700-4x\right)
A\left(x\right)=x^2+1\ 400x-8x^2
A\left(x\right)=-7x^2+1\ 400x
Etudier la fonction A\left(x\right)
A est une fonction trinôme donc elle est dérivable sur son ensemble de définition.
Ainsi, pour tout x\in\left[ 0;175 \right], on a : A'\left(x\right)=-14x+1\ 400
On a :
-14x+1\ 400\gt0\Leftrightarrow-14x\gt-1\ 400\Leftrightarrow14x\lt1\ 400\Leftrightarrow x\lt100
Une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive, et décroissante lorsque sa dérivée est négative, on obtient donc le tableau de variations suivant :
L'aire des terrains est donc maximale pour :
- x=100
- y=700-4\times100=700-400=300
Quelle est la valeur de cette aire maximale ?
L'aire maximale est atteinte pour x=100
A\left(100\right)=-7\times100^2+1\ 400\times100=70\ 000
L'aire maximale des deux terrains est donc égale à : 70 000 m^2.