Un agriculteur dispose de 1200 m de grillage avec lesquels il souhaite clôturer deux terrains : un premier rectangle de largeur x et de longueur y et un autre rectangle de largeur 2x et de longueur 2y.
Quelles sont les dimensions des deux rectangles pour que l'aire des terrains clôturés soit maximale ?
Soit A l'aire des deux terrains.
- L'aire du premier terrain rectangle est : xy
- L'aire du deuxième terrain rectangle est : 4xy
Ainsi, on a : A=xy+4xy=5xy
Cette expression dépend de deux variables. Pour étudier son maximum, on peut au préalable chercher à se ramener à une expression avec une seule variable.
Exprimer l'aire en fonction de x
On sait que le périmètre total des terrains clôturés est égal à 1200 m.
- Le périmètre du terrain carré est : 2x+2y
- Le périmètre du terrain rectangulaire est : 4x+4y
Ainsi on a :
2x+2y+4x+4y=1\ 200
\Leftrightarrow6x+6y=1\ 200
\Leftrightarrow x+y=200
\Leftrightarrow y=200-x
Comme x et y représentent des longueurs, on a : x\geqslant0 et y\geqslant0\Leftrightarrow200-x\geqslant0\Leftrightarrow x\leqslant200
Ainsi, on peut exprimer l'aire uniquement en fonction de x, sur \left[ 0;200 \right] :
A\left(x\right)=5x\left(200-x\right)
A\left(x\right)=-5x^2+1\ 000x
Etudier la fonction A\left(x\right)
A est une fonction trinôme donc elle est dérivable sur son ensemble de définition.
Ainsi, pour tout x\in\left[ 0;200 \right], on a : A'\left(x\right)=-10x+1\ 000
On a :
-10x+1\ 000\gt0\Leftrightarrow-10x\gt-1\ 000\Leftrightarrow10x\lt1\ 000\Leftrightarrow x\lt100
Une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive, et décroissante lorsque sa dérivée est négative, on obtient donc le tableau de variations suivant :
L'aire des terrains est donc maximale pour :
- x=100
- y=200-100=100
Quelle est la valeur de cette aire maximale ?
L'aire maximale est atteinte pour x=100
A\left(100\right)=-5\times100^2+1\ 000\times100=50\ 000
L'aire maximale des deux terrains est donc égale à : 50 000 m^2.