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Réaliser une étude de fonction

L'étude d'une fonction f est une composante incontournable d'un problème. Selon l'énoncé, le nombre de questions intermédiaires peut varier, c'est pourquoi il faut être capable de dérouler par soi-même toutes les étapes de l'étude. L'objectif est de dresser le tableau de variations complet d'une fonction.

Etudier les variations de la fonction f définie par :

\(\displaystyle{\forall x\in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{f\left(x\right) = \dfrac{x-1}{e^x}}\)

Etape 1

Rappeler le domaine de définition de f

L'étude d'une fonction est restreinte à son domaine de définition, il est donc important de déterminer celui-ci.

La fonction f est définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).

Etape 2

Calculer les limites aux bornes

On calcule les limites de f aux bornes ouvertes de son ensemble de définition.

On doit déterminer les limites de f en \(\displaystyle{-\infty}\) et \(\displaystyle{+\infty}\).

On a :

  • \(\displaystyle{\lim_{x \to -\infty} x-1 = -\infty}\)
  • \(\displaystyle{\lim_{x \to -\infty} e^x = 0^+}\)

On en déduit, par quotient :

\(\displaystyle{\lim_{x \to -\infty} f\left(x\right) = -\infty}\)

En \(\displaystyle{+\infty}\), il s'agit d'une forme indéterminée. On transforme l'expression :

\(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{f\left(x\right) = \dfrac{x}{e^x} - \dfrac{1}{e^x}}\)

On a :

  • \(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x}{e^x} =0^+}\) (croissances comparées)
  • \(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{e^x} =0^+}\)

On en déduit, par somme :

\(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} f\left(x\right) = 0}\)

Etape 3

Dériver f

On calcule la dérivée de f et on simplifie l'expression.

La fonction est dérivable sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) en tant que quotient de fonctions dérivables sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) dont le dénominateur ne s'annule pas.

On remarque que \(\displaystyle{f = \dfrac{u}{v}}\) avec,

  • \(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{u\left(x\right) = x-1}\)
  • \(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{v\left(x\right) = e^x}\)

On en déduit que :

\(\displaystyle{f' = \dfrac{u'v-uv'}{v^2}}\)

Avec :

  • \(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{u'\left(x\right) = 1}\)
  • \(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{v'\left(x\right) = e^x}\)

On obtient :

\(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{f' \left(x\right)= \dfrac{e^x-\left(x-1\right)e^x}{\left(e^x\right)^2}}\)

\(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{f' \left(x\right)= \dfrac{e^x\left(1-x+1\right)}{\left(e^x\right)^2}}\)

Finalement :

\(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{f' \left(x\right)= \dfrac{2-x}{e^x}}\)

Etape 4

Etudier le signe de f'

On étudie le signe de \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\), en utilisant éventuellement un tableau de signes.

On étudie le signe de la dérivée, en étudiant séparément le signe du numérateur et le signe du dénominateur :

  • \(\displaystyle{\forall x\in\mathbb{R}}\), \(\displaystyle{e^x\gt0}\)
  • \(\displaystyle{\forall x\in\mathbb{R}}\), \(\displaystyle{2-x \gt 0 \Leftrightarrow x\lt 2}\)

On en déduit le signe de \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\) :

-
Etape 5

Enoncer le lien entre signe de la dérivée et variations de la fonction

On rappelle que :

  • Si \(\displaystyle{f'\left(x\right) \gt 0}\) sur un intervalle I, alors f est strictement croissante sur I.
  • Si \(\displaystyle{f'\left(x\right) \lt 0}\) sur un intervalle I, alors f est strictement décroissante sur I.

D'après le cours, on sait que :

  • Si \(\displaystyle{f'\left(x\right) \gt 0}\) sur un intervalle I, alors f est strictement croissante sur I.
  • Si \(\displaystyle{f'\left(x\right) \lt 0}\) sur un intervalle I, alors f est strictement décroissante sur I.

On en déduit que :

  • f est strictement croissante sur \(\displaystyle{\left]-\infty ; 2 \right[}\).
  • f est strictement décroissante sur \(\displaystyle{\left]2; +\infty \right[}\).
Etape 6

Calculer les extremums locaux éventuels

On calcule la valeur de f aux points où sa dérivée s'annule et change de signe.

On calcule \(\displaystyle{f\left(2\right)}\) :

\(\displaystyle{f\left(2\right) =\dfrac{2-1}{e^2}}\)

\(\displaystyle{f\left(2\right) =e^{-2}}\)

Etape 7

Dresser le tableau de variations

On synthétise ces informations dans le tableau de variations de f :

  • Le domaine de définition de f, les valeurs où sa dérivée change de signe et les éventuelles valeurs interdites
  • Le signe de \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\)
  • Les variations de f
  • Les limites et les extremums locaux

On dresse enfin le tableau de variations de f :

-

Même si l'on connaît les étapes de l'étude de fonction par cœur, il est indispensable de lire soigneusement l'énoncé. Il faut répondre à chaque question rigoureusement, et ne pas se laisser entraîner à répondre à plusieurs questions en même temps par automatisme.

Une étude de fonction peut s'avérer longue et très calculatoire. Il est donc fortement conseillé de hiérarchiser les étapes et les calculs.

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