Terminale S 2016-2017

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Utiliser la formule des probabilités totales

On utilise la formule des probabilités totales pour calculer une probabilité \(\displaystyle{p\left(F\right)}\) lorsque la réalisation de F dépend de la réalisation d'autres événements.

Une usine fabrique 80% de composés A et 20% de composés B. Un centième des composés A et 5% des composés B sont défectueux.

On note :

  • A : "Le composé est de type A."
  • B : "Le composé est de type B."
  • D : "Le composé est défectueux."

Calculer \(\displaystyle{p\left(D\right)}\).

Etape 1

Dresser un arbre de probabilités

On dresse un arbre de probabilités correspondant à la situation. Ici, pour déterminer \(\displaystyle{p\left(F\right)}\) ou \(\displaystyle{p\left(\overline{F}\right)}\), il est nécessaire d'utiliser la formule des probabilités totales car la réalisation de F (ou de \(\displaystyle{\overline{F}}\) ) dépend de la réalisation de A, B ou C.

-

L'énoncé donne les probabilités suivantes :

  • \(\displaystyle{p\left(A\right)=0,8}\)
  • \(\displaystyle{p\left(B\right)=0,2}\)
  • \(\displaystyle{p_{A}\left(D\right)=0,01}\)
  • \(\displaystyle{p_{B}\left(D\right)=0,05}\)

On obtient donc l'arbre de probabilités suivant :

-
Etape 2

Déterminer une partition de l'univers

Les événements des branches issues de l'origine de l'arbre forment une partition de l'univers.

A et B forment ici une partition de l'univers.

Etape 3

Énoncer et développer la formule

On applique la formule des probabilités totales avec la partition de l'univers déterminée à l'étape précédente :

\(\displaystyle{p\left(F\right)=p\left(F\cap A\right)+p\left(F\cap B\right)+p\left(F\cap C\right)}\)

On applique ensuite la formule des probabilités conditionnelles :

\(\displaystyle{p\left(F\right)=p_{A}\left(F\right)\times p\left(A\right)+p_{B}\left(F\right)\times p\left(B\right)+p_{C}\left(F\right)\times p\left(C\right)}\)

D'après la formule des probabilités totales, on a donc :

\(\displaystyle{p\left(D\right)=p\left(D\cap A\right)+p\left(D\cap B\right)}\)

Soit, d'après la formule des probabilités conditionnelles :

\(\displaystyle{p\left(D\right)=p_{A}\left(D\right)\times p\left(A\right)+p_{B}\left(D\right)\times p\left(B\right)}\)

Etape 4

Rappeler les probabilités connues

On rappelle la valeur des probabilités impliquées dans la formule déterminée à l'étape précédente. Ces probabilités sont données par l'énoncé ou lisibles sur l'arbre de probabilités.

Or, on sait que :

  • \(\displaystyle{p\left(A\right)=0,8}\)
  • \(\displaystyle{p\left(B\right)=0,2}\)
  • \(\displaystyle{p_{A}\left(D\right)=0,01}\)
  • \(\displaystyle{p_{B}\left(D\right)=0,05}\)
Etape 5

Effectuer le calcul

On remplace les probabilités par leurs valeurs dans la formule et on effectue le calcul.

Finalement :

\(\displaystyle{p\left(D\right)=0,01\times0,8+0,05\times0,2}\)

\(\displaystyle{p\left(D\right)=0,008+0,01=0,018}\)