Terminale S 2016-2017

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Dériver une fonction comportant une exponentielle

Méthode 1

Si la fonction est de la forme \(\displaystyle{e^{u\left(x\right)}}\)

Si une fonction u est dérivable sur I, la fonction f définie par \(\displaystyle{f=e^u}\) est dérivable sur I et a pour dérivée \(\displaystyle{f'=u'e^u}\).

On considère la fonction f définie par :

\(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{f\left(x\right) = e^{x^3-5x^2+7x}}\)

Calculer f', la fonction dérivée de f.

Etape 1

Justifier la dérivabilité

On justifie la dérivabilité de la fonction f sur son intervalle I.

La fonction f est dérivable sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) en tant que composée de fonctions dérivables sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).

Etape 2

Poser \(\displaystyle{u\left(x\right)}\) et calculer sa dérivée

On donne l'expression de la fonction u telle que \(\displaystyle{f=e^u}\). Ensuite, on calcule sa dérivée.

On pose :

\(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{u\left(x\right) = x^3-5x^2+7x}\)

On en déduit que :

\(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{u'\left(x\right) = 3x^2-10x+7}\)

Etape 3

Enoncer la formule

On rappelle que, comme la fonction f est de la forme \(\displaystyle{f= e^u}\), alors \(\displaystyle{f'= u'e^u}\).

\(\displaystyle{f=e^u}\), donc \(\displaystyle{f'=u'e^u}\).

Etape 4

Appliquer la formule

On applique la formule et on conclut en donnant f'.

On en déduit que :

\(\displaystyle{\forall x \in\mathbb{R}}\), \(\displaystyle{f'\left(x\right) = \left(3x^2-10x+7\right)e^{x^3-5x^2+7x}}\)

Méthode 2

Si l'exponentielle apparaît au sein des formules usuelles

Afin de dériver une fonction dans laquelle apparaît une exponentielle, on utilise les formules de dérivation du cours.

On considère la fonction f définie par :

\(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}-\left\{ -1 \right\}}\), \(\displaystyle{f\left(x\right) = \dfrac{2e^x}{x+1}}\)

Calculer f', la fonction dérivée de f.

Etape 1

Justifier la dérivabilité

On justifie la dérivabilité de la fonction f sur son intervalle I.

La fonction f est dérivable sur tout intervalle inclus dans \(\displaystyle{\mathbb{R}-\left\{ -1 \right\}}\) en tant que quotient de fonctions dérivables sur tout intervalle inclus dans \(\displaystyle{\mathbb{R}-\left\{ -1 \right\}}\) dont le dénominateur ne s'annule pas sur \(\displaystyle{\mathbb{R}-\left\{ -1 \right\}}\).

Etape 2

Identifier la formule utilisée

Selon la forme de f, on détermine si l'on va utiliser la formule de dérivée d'une somme, d'un produit, d'un quotient ou d'une composée de fonctions.

On remarque que \(\displaystyle{f= \dfrac{u}{v}}\).

Etape 3

Poser les fonctions intermédiaires et calculer leurs dérivées

On introduit les fonctions intermédiaires qui permettent d'exprimer f. On introduit autant de fonctions intermédiaires que nécessaire.

On dérive ensuite chacune des fonctions intermédiaires.

On pose que, \(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\) :

  • \(\displaystyle{u\left(x\right) = 2e^x}\)
  • \(\displaystyle{v\left(x\right) = x+1}\)

On en déduit que, \(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\) :

  • \(\displaystyle{u'\left(x\right) = 2e^x}\)
  • \(\displaystyle{v'\left(x\right) =1}\)
Etape 4

Enoncer la formule

On énonce la formule de f' correspondant à la forme de f.

On a :

\(\displaystyle{f' = \dfrac{u'v-uv'}{v^2}}\)

Etape 5

Appliquer la formule

On applique la formule pour obtenir l'expression de f'. On simplifie le résultat de manière à aboutir à une forme dont on peut facilement déterminer le signe, puisqu'il s'agit généralement de la tâche à effectuer ensuite.

En appliquant la formule, on obtient :

\(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}-\left\{ -1 \right\}}\), \(\displaystyle{f'\left(x\right) = \dfrac{2e^x \left(x+1\right)-2e^x\times 1}{\left(x+1\right)^2}}\)

On simplifie :

\(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}-\left\{ -1 \right\}}\), \(\displaystyle{f'\left(x\right) = \dfrac{2xe^x }{\left(x+1\right)^2}}\)

Chapitre 5 La fonction exponentielle
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