On considère l'équation trigonométrique suivante définie sur \mathbb{R} :

\cos\left(3x\right) =\dfrac{1}{2}

Quelles sont les solutions de cette équation sur \mathbb{R} ?

S = \left\{ -\dfrac{\pi}{9}+k\dfrac{\pi}{3}; \dfrac{\pi}{9}+k\dfrac{\pi}{3},\ k\in\mathbb{Z} \right\}

S = \left\{ -\dfrac{\pi}{9}+k\dfrac{2\pi}{3}; \dfrac{\pi}{9}+k\dfrac{2\pi}{3},\ k\in\mathbb{Z} \right\}

S = \left\{ -\dfrac{\pi}{3}+k\dfrac{2\pi}{3}; \dfrac{\pi}{3}+k\dfrac{2\pi}{3},\ k\in\mathbb{Z} \right\}

S = \left\{ -\dfrac{\pi}{9}+k{2\pi}; \dfrac{\pi}{9}+k{2\pi},\ k\in\mathbb{Z} \right\}

On remarque que :

\cos \left(3x\right) =\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \cos \left(3x \right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)

D'après le cours, on sait que :

\cos\left( a\right) =\cos\left(b\right)\Leftrightarrow\begin{cases} a=b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr a=-b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

Ici, en posant a = 3x et b = \dfrac{\pi}{3}, on obtient :

\begin{cases} 3x=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr 3x=-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

On en déduit que :

\begin{cases} x=\dfrac{\pi}{9}+k\dfrac{2\pi}{3}, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=-\dfrac{\pi}{9}+k\dfrac{2\pi}{3}, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

L'ensemble des solutions de l'équation \cos\left(3x\right) =\dfrac{1}{2} sur \mathbb{R} est :

S = \left\{ -\dfrac{\pi}{9}+k\dfrac{2\pi}{3}; \dfrac{\pi}{9}+k\dfrac{2\pi}{3},\ k\in\mathbb{Z} \right\}

Quelles sont les solutions de cette équation sur \left[ -\pi ; \pi \right] ?

S = \left\{ - \dfrac{\pi}{9} ; \dfrac{\pi}{9}\right\}

S = \left\{- \dfrac{5\pi}{9}; - \dfrac{\pi}{9} ; \dfrac{\pi}{9}; \dfrac{5\pi}{9} \right\}

S = \left\{- \dfrac{7\pi}{9} ; - \dfrac{5\pi}{9}; - \dfrac{\pi}{9} ; \dfrac{\pi}{9}; \dfrac{5\pi}{9}; \dfrac{7\pi}{9} \right\}

S = \left\{- \dfrac{7\pi}{9} ; - \dfrac{4\pi}{9}; - \dfrac{\pi}{9} ; \dfrac{\pi}{9}; \dfrac{4\pi}{9}; \dfrac{7\pi}{9} \right\}

On sait que l'ensemble des solutions \cos\left(3x\right) =\dfrac{1}{2} sur \mathbb{R} est S = \left\{ -\dfrac{\pi}{9}+k\dfrac{2\pi}{3}; \dfrac{\pi}{9}+k\dfrac{2\pi}{3},\ k\in\mathbb{Z} \right\}.

Déterminons les solutions de cette équation sur \left[ -\pi ; \pi \right].

Etape 1

Pour -\dfrac{\pi}{9}+k\dfrac{2\pi}{3}

Si k = 0 on obtient -\dfrac{\pi}{9}, or -\dfrac{\pi}{9} \in \left[ -\pi ; \pi \right]
Si k = 1 on obtient \dfrac{5\pi}{9}, or \dfrac{5\pi}{9} \in \left[ -\pi ; \pi \right]
Si k = 2 on obtient \dfrac{11\pi}{9}, or \dfrac{11\pi}{9} \notin \left[ -\pi ; \pi \right]
Si k = -1 on obtient -\dfrac{7\pi}{9}, or -\dfrac{7\pi}{9} \in \left[ -\pi ; \pi \right]
Si k = -2 on obtient -\dfrac{13\pi}{9}, or -\dfrac{13\pi}{9} \notin \left[ -\pi ; \pi \right]

Etape 2

Pour \dfrac{\pi}{9}+k\dfrac{2\pi}{3}

Si k = 0 on obtient \dfrac{\pi}{9}, or \dfrac{\pi}{9} \in \left[ -\pi ; \pi \right]
Si k = 1 on obtient \dfrac{7\pi}{9}, or \dfrac{7\pi}{9} \in \left[ -\pi ; \pi \right]
Si k = 2 on obtient \dfrac{13\pi}{9}, or \dfrac{13\pi}{9} \notin \left[ -\pi ; \pi \right]
Si k = -1 on obtient -\dfrac{5\pi}{9}, or -\dfrac{5\pi}{9} \in \left[ -\pi ; \pi \right]
Si k = -2 on obtient -\dfrac{11\pi}{9}, or -\dfrac{11\pi}{9} \notin \left[ -\pi ; \pi \right]

L'ensemble des solutions sur \left[ -\pi;\pi \right] est :

S = \left\{- \dfrac{7\pi}{9} ; - \dfrac{5\pi}{9}; - \dfrac{\pi}{9} ; \dfrac{\pi}{9}; \dfrac{5\pi}{9}; \dfrac{7\pi}{9} \right\}