On considère l'équation trigonométrique suivante définie sur \mathbb{R} :
\sin\left(-2x\right) =-1
Quelles sont les solutions de cette équation sur \mathbb{R} ?
On remarque que :
\sin\left(-2x\right) =-1 \Leftrightarrow \sin\left(-2x \right)=\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)
D'après le cours, on sait que :
\sin\left( a\right) =\sin\left(b\right)\Leftrightarrow\begin{cases} a=b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr a=\pi-b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
Ici, en posant a = -2x et b =- \dfrac{\pi}{2}, on obtient :
\begin{cases} -2x=-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr -2x=\pi+\dfrac{\pi}{2}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
On en déduit que :
\begin{cases} x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=-\dfrac{3\pi}{4}+k\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
L'ensemble des solutions de l'équation \sin\left(-2 x\right) =-1 sur \mathbb{R} est :
S = \left\{ -\dfrac{\pi}{4}+k\pi; \dfrac{3\pi}{4}+k\pi ,\ k\in\mathbb{Z} \right\}
Soit :
S = \left\{\dfrac{3\pi}{4}+k\pi ,\ k\in\mathbb{Z} \right\}
Quelles sont les solutions de cette équation sur \left[ -\pi ; \pi \right] ?
On sait que l'ensemble des solutions de l'équation \sin\left(-2 x\right) =-1 sur \mathbb{R} est :
S = \left\{\dfrac{3\pi}{4}+k\pi ,\ k\in\mathbb{Z} \right\}
Déterminons les solutions de cette équation sur \left[ -\pi ; \pi \right].
- Si k = 0 on obtient \dfrac{3\pi}{4}, or \dfrac{3\pi}{4} \in \left[ -\pi ; \pi \right]
- Si k = 1 on obtient \dfrac{7\pi}{4}, or \dfrac{7\pi}{4} \notin \left[ -\pi ; \pi \right]
- Si k = -1 on obtient -\dfrac{\pi}{4}, or -\dfrac{\pi}{4} \in \left[ -\pi ; \pi \right]
- Si k = -2 on obtient -\dfrac{5\pi}{4}, or -\dfrac{5\pi}{4} \notin \left[ -\pi ; \pi \right]
L'ensemble des solutions sur \left[ -\pi;\pi \right] est :
S = \left\{- \dfrac{\pi}{4} ; \dfrac{3\pi}{4} \right\}