On considère l'équation trigonométrique suivante définie sur \mathbb{R} :
\cos \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right) =\dfrac{\sqrt 2}{2}
Quelles sont les solutions de cette équation sur \mathbb{R} ?
On remarque que :
\cos \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right) =\dfrac{\sqrt 2}{2} \Leftrightarrow \cos \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right) =\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)
D'après le cours, on sait que :
\cos\left( a\right) =\cos\left(b\right)\Leftrightarrow\begin{cases} a=b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr a=-b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
Ici, en posant a = x+\dfrac{\pi}{4} et b =\dfrac{\pi}{4}, on obtient :
\begin{cases} x+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x+\dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{\pi}{4}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
On en déduit que :
\begin{cases} x=0+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
L'ensemble des solutions de l'équation \cos \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right) =\dfrac{\sqrt 2}{2} sur \mathbb{R} est :
S = \left\{ -\dfrac{\pi}{2}+k2\pi; 0+k2\pi,\ k\in\mathbb{Z} \right\}
Quelles sont les solutions de cette équation sur \left[ -\pi ; \pi \right] ?
On sait que l'ensemble des solutions de l'équation \cos \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right) =\dfrac{\sqrt 2}{2} sur \mathbb{R} est :
S = \left\{ -\dfrac{\pi}{2}+k2\pi; 0+k2\pi,\ k\in\mathbb{Z} \right\}
Déterminons les solutions de cette équation sur \left[ -\pi ; \pi \right].
Pour -\dfrac{\pi}{2}+k2\pi
- Si k = 0 on obtient -\dfrac{\pi}{2}, or -\dfrac{\pi}{2} \in \left[ -\pi ; \pi \right]
- Si k = 1 on obtient \dfrac{3\pi}{2}, or \dfrac{3\pi}{2} \notin \left[ -\pi ; \pi \right]
- Si k = -1 on obtient -\dfrac{5\pi}{2}, or -\dfrac{5\pi}{2} \notin \left[ -\pi ; \pi \right]
Pour 0+k2\pi
- Si k = 0 on obtient 0, or 0\in \left[ -\pi ; \pi \right]
- Si k = 1 on obtient 2\pi, or 2\pi\notin \left[ -\pi ; \pi \right]
- Si k = -1 on obtient -2\pi, or -2\pi \notin \left[ -\pi ; \pi \right]
L'ensemble des solutions sur \left[ -\pi;\pi \right] est :
S = \left\{- \dfrac{\pi}{2} ; 0 \right\}