On considère l'équation trigonométrique suivante définie sur \mathbb{R} :

\cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right) =\dfrac{1}{2}

Quelles sont les solutions de cette équation sur \mathbb{R} ?

S = \left\{ \dfrac{\pi}{6}+k2\pi; \dfrac{\pi}{2}+k2\pi,\ k\in\mathbb{Z} \right\}

S = \left\{ -\dfrac{\pi}{6}+k2\pi; \dfrac{\pi}{2}+k2\pi,\ k\in\mathbb{Z} \right\}

S = \left\{ -\dfrac{\pi}{6}+k2\pi; -\dfrac{\pi}{2}+k2\pi,\ k\in\mathbb{Z} \right\}

S = \left\{ \dfrac{\pi}{6}+k2\pi; -\dfrac{\pi}{2}+k2\pi,\ k\in\mathbb{Z} \right\}

On remarque que :

\cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right) =\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)

D'après le cours, on sait que :

\cos\left( a\right) =\cos\left(b\right)\Leftrightarrow\begin{cases} a=b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr a=-b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

Ici, en posant a = x-\dfrac{\pi}{6} et b =\dfrac{\pi}{3}, on obtient :

\begin{cases} x-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x-\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

On en déduit que :

\begin{cases} x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

L'ensemble des solutions de l'équation \cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right) =\dfrac{1}{2} sur \mathbb{R} est :

S = \left\{ -\dfrac{\pi}{6}+k2\pi; \dfrac{\pi}{2}+k2\pi,\ k\in\mathbb{Z} \right\}

Quelles sont les solutions de cette équation sur \left[ -\pi ; \pi \right] ?

S = \left\{- \dfrac{\pi}{6} ;-\dfrac{\pi}{2} \right\}

S = \left\{ \dfrac{\pi}{6} ;\dfrac{\pi}{2} \right\}

S = \left\{- \dfrac{\pi}{6} ;\dfrac{\pi}{2} \right\}

S = \left\{ \dfrac{\pi}{6} ;-\dfrac{\pi}{2} \right\}

On sait que l'ensemble des solutions de l'équation \cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right) =\dfrac{1}{2} sur \mathbb{R} est :

S = \left\{ -\dfrac{\pi}{6}+k2\pi; \dfrac{\pi}{2}+k2\pi,\ k\in\mathbb{Z} \right\}

Déterminons les solutions de cette équation sur \left[ -\pi ; \pi \right].

Etape 1

Pour -\dfrac{\pi}{6}+k2\pi

Si k = 0 on obtient -\dfrac{\pi}{6}, or -\dfrac{\pi}{6} \in \left[ -\pi ; \pi \right]
Si k = 1 on obtient \dfrac{11\pi}{6}, or \dfrac{11\pi}{6} \notin \left[ -\pi ; \pi \right]
Si k = -1 on obtient -\dfrac{13\pi}{6}, or -\dfrac{13\pi}{6} \notin \left[ -\pi ; \pi \right]

Etape 2

Pour \dfrac{\pi}{2}+k2\pi

Si k = 0 on obtient \dfrac{\pi}{2}, or \dfrac{\pi}{2} \in \left[ -\pi ; \pi \right]
Si k = 1 on obtient \dfrac{5\pi}{2}, or \dfrac{5\pi}{2} \notin \left[ -\pi ; \pi \right]
Si k = -1 on obtient -\dfrac{3\pi}{2}, or -\dfrac{3\pi}{2} \notin \left[ -\pi ; \pi \right]

L'ensemble des solutions sur \left[ -\pi;\pi \right] est :

S = \left\{- \dfrac{\pi}{6} ;\dfrac{\pi}{2} \right\}