On considère l'équation trigonométrique suivante définie sur \mathbb{R} :

\sin\left(2x\right) =\dfrac{\sqrt 3}{2}

Quelles sont les solutions de cette équation sur \mathbb{R} ?

S = \left\{ -\dfrac{\pi}{6}+2k\pi; \dfrac{\pi}{3}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \right\}

S = \left\{ \dfrac{\pi}{6}+k\pi; \dfrac{\pi}{3}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \right\}

S = \left\{ \dfrac{\pi}{6}+k\pi; \dfrac{2\pi}{3}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \right\}

S = \left\{ \dfrac{\pi}{4}+k\pi; \dfrac{\pi}{3}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \right\}

On remarque que :

\sin\left(2x\right) =\dfrac{\sqrt 3}{2} \Leftrightarrow \sin \left(2x \right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)

D'après le cours, on sait que :

\sin\left( a\right) =\sin\left(b\right)\Leftrightarrow\begin{cases} a=b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr a=\pi -b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

Ici, en posant a = 2x et b = \dfrac{\pi}{3}, on obtient :

\begin{cases} 2x=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr 2x=\pi-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

On en déduit que :

\begin{cases} x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

L'ensemble des solutions de l'équation \sin\left(2x\right) =\dfrac{\sqrt 3}{2} sur \mathbb{R} est :

S = \left\{ \dfrac{\pi}{6}+k\pi; \dfrac{\pi}{3}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \right\}

Quelles sont les solutions de cette équation sur \left[ -\pi ; \pi \right] ?

S = \left\{- \dfrac{\pi}{6} ; \dfrac{\pi}{6} \right\}

S = \left\{ ; - \dfrac{2\pi}{3}; \dfrac{\pi}{6} ; \dfrac{\pi}{3} \right\}

S = \left\{- \dfrac{5\pi}{6} ; - \dfrac{2\pi}{3}; \dfrac{\pi}{6} ; \dfrac{\pi}{3} \right\}

S = \varnothing

On sait que l'ensemble des solutions \sin\left( 2x\right) =\dfrac{\sqrt 3}{2} sur \mathbb{R} est :

S = \left\{ \dfrac{\pi}{6}+k\pi; \dfrac{\pi}{3}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \right\}

Déterminons les solutions de cette équation sur \left[ -\pi ; \pi \right].

Etape 1

Pour \dfrac{\pi}{6}+k\pi

Si k = 0 on obtient \dfrac{\pi}{6}, or \dfrac{\pi}{6} \in \left[ -\pi ; \pi \right]
Si k = 1 on obtient \dfrac{7\pi}{6}, or \dfrac{7\pi}{6} \notin \left[ -\pi ; \pi \right]
Si k = -1 on obtient -\dfrac{5\pi}{6}, or -\dfrac{5\pi}{6} \in \left[ -\pi ; \pi \right]
Si k = -2 on obtient -\dfrac{11\pi}{6}, or -\dfrac{11\pi}{6} \notin \left[ -\pi ; \pi \right]

Etape 2

Pour \dfrac{\pi}{3}+k\pi

Si k = 0 on obtient \dfrac{\pi}{3}, or \dfrac{\pi}{3} \in \left[ -\pi ; \pi \right]
Si k = 1 on obtient \dfrac{4\pi}{3}, or \dfrac{4\pi}{3} \notin \left[ -\pi ; \pi \right]
Si k = -1 on obtient -\dfrac{2\pi}{3}, or -\dfrac{2\pi}{3} \in \left[ -\pi ; \pi \right]
Si k = -2 on obtient -\dfrac{5\pi}{3}, or -\dfrac{5\pi}{3} \notin \left[ -\pi ; \pi \right]

L'ensemble des solutions sur \left[ -\pi;\pi \right] est :

S = \left\{- \dfrac{5\pi}{6} ; - \dfrac{2\pi}{3}; \dfrac{\pi}{6} ; \dfrac{\pi}{3} \right\}