On considère l'équation trigonométrique suivante définie sur \mathbb{R} :
\cos\left(x\right) =-\dfrac{\sqrt2}{2}
Quelles sont les solutions de cette équation sur \mathbb{R} ?
On remarque que :
\cos \left(x\right) =-\dfrac{\sqrt 2}{2} \Leftrightarrow \cos \left(x \right)=\cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)
D'après le cours, on sait que :
\cos\left( a\right) =\cos\left(b\right)\Leftrightarrow\begin{cases} a=b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr a=-b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
Ici, en posant a = x et b = \dfrac{3\pi}{4}, on obtient :
\begin{cases} x=\dfrac{3\pi}{4}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=-\dfrac{3\pi}{4}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
L'ensemble des solutions de l'équation \cos\left( x\right) =-\dfrac{\sqrt2}{2} sur \mathbb{R} est :
S = \left\{ -\dfrac{3\pi}{4}+k2\pi; \dfrac{3\pi}{4}+k2\pi ,\ k\in\mathbb{Z}\right\}
Quelles sont les solutions de cette équation sur \left[ -\pi ; \pi \right] ?
On sait que l'ensemble des solutions \cos\left(x\right) =-\dfrac{\sqrt2}{2} sur \mathbb{R} est :
S = \left\{ -\dfrac{3\pi}{4}+k2\pi; \dfrac{3\pi}{4}+k2\pi,\ k\in\mathbb{Z} \right\}
Déterminons les solutions de cette équation sur \left[ -\pi ; \pi \right].
Pour -\dfrac{3\pi}{4}+k2\pi
- Si k = 0 on obtient -\dfrac{3\pi}{4}, or -\dfrac{3\pi}{4} \in \left[ -\pi ; \pi \right]
- Si k = 1 on obtient \dfrac{5\pi}{4}, or \dfrac{5\pi}{4} \notin \left[ -\pi ; \pi \right]
- Si k = -1 on obtient -\dfrac{11\pi}{4}, or -\dfrac{11\pi}{4} \notin \left[ -\pi ; \pi \right]
Pour \dfrac{3\pi}{4}+k2\pi
- Si k = 0 on obtient \dfrac{3\pi}{4}, or \dfrac{3\pi}{4} \in \left[ -\pi ; \pi \right]
- Si k = 1 on obtient \dfrac{11\pi}{4}, or \dfrac{11\pi}{4} \notin \left[ -\pi ; \pi \right]
- Si k = -1 on obtient -\dfrac{5\pi}{4}, or -\dfrac{5\pi}{4} \notin \left[ -\pi ; \pi \right]
L'ensemble des solutions sur \left[ -\pi;\pi \right] est :
S = \left\{- \dfrac{3\pi}{4} ; \dfrac{3\pi}{4} \right\}