On considère l'équation trigonométrique suivante définie sur \mathbb{R} :

\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right) =0

Quelles sont les solutions de cette équation sur \mathbb{R} ?

S = \left\{ -\dfrac{\pi}{6}+2k\pi; \dfrac{\pi}{3}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \right\}

S = \left\{ -\dfrac{\pi}{6}+k\pi; \dfrac{\pi}{3}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \right\}

S = \left\{ \dfrac{\pi}{6}+2k\pi; -\dfrac{\pi}{3}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \right\}

S = \left\{k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \right\}

On remarque que :

\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right) =0\Leftrightarrow \sin\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin\left(0\right)

D'après le cours, on sait que :

\sin\left( a\right) =\sin\left(b\right)\Leftrightarrow\begin{cases} a=b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr a=\pi-b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

Ici, en posant a = 2x+\dfrac{\pi}{3} et b =0, on obtient :

\begin{cases} 2x+\dfrac{\pi}{3}=0+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr 2x+\dfrac{\pi}{3}=\pi+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

On en déduit que :

\begin{cases} x=-\dfrac{\pi}{6}+k\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

L'ensemble des solutions de l'équation \sin\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right) =0 sur \mathbb{R} est :

S = \left\{ -\dfrac{\pi}{6}+k\pi; \dfrac{\pi}{3}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \right\}

Quelles sont les solutions de cette équation sur \left[ -\pi ; \pi \right] ?

S = \left\{ \dfrac{\pi}{3} ; \dfrac{5\pi}{6} \right\}

S = \left\{- \dfrac{2\pi}{3} ; \dfrac{\pi}{3} ; \dfrac{5\pi}{6} \right\}

S = \left\{- \dfrac{2\pi}{3} ;- \dfrac{\pi}{6} ; \dfrac{\pi}{3} ; \dfrac{5\pi}{6} \right\}

S = \left\{0;- \dfrac{2\pi}{3} ;- \dfrac{\pi}{6} ; \dfrac{\pi}{3} ; \dfrac{5\pi}{6};\pi \right\}

On sait que l'ensemble des solutions de l'équation \sin\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right) =0 sur \mathbb{R} est :

S = \left\{ -\dfrac{\pi}{6}+k\pi; \dfrac{\pi}{3}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \right\}

Déterminons les solutions de cette équation sur \left[ -\pi ; \pi \right].

Etape 1

Pour -\dfrac{\pi}{6}+k\pi

Si k = 0 on obtient -\dfrac{\pi}{6}, or -\dfrac{\pi}{6} \in \left[ -\pi ; \pi \right]
Si k = 1 on obtient \dfrac{5\pi}{6}, or \dfrac{5\pi}{6} \in \left[ -\pi ; \pi \right]
Si k = 2 on obtient \dfrac{11\pi}{6}, or \dfrac{11\pi}{6} \notin \left[ -\pi ; \pi \right]
Si k = -1 on obtient -\dfrac{7\pi}{6}, or -\dfrac{7\pi}{6} \notin \left[ -\pi ; \pi \right]

Etape 2

Pour \dfrac{\pi}{3}+k\pi

Si k = 0 on obtient \dfrac{\pi}{3}, or \dfrac{\pi}{3} \in \left[ -\pi ; \pi \right]
Si k = 1 on obtient \dfrac{4\pi}{3}, or \dfrac{4\pi}{3} \notin \left[ -\pi ; \pi \right]
Si k = -1 on obtient -\dfrac{2\pi}{3}, or -\dfrac{2\pi}{3} \in \left[ -\pi ; \pi \right]
Si k = -2 on obtient -\dfrac{5\pi}{3}, or -\dfrac{5\pi}{3} \notin \left[ -\pi ; \pi \right]

L'ensemble des solutions sur \left[ -\pi;\pi \right] est :

S = \left\{- \dfrac{2\pi}{3} ;- \dfrac{\pi}{6} ; \dfrac{\pi}{3} ; \dfrac{5\pi}{6} \right\}