On considère l'équation trigonométrique suivante définie sur \mathbb{R} :

\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right) =\dfrac{\sqrt3}{2}

Quelles sont les solutions de cette équation sur \mathbb{R} ?

S = \left\{ -\dfrac{5\pi}{24}+2k\pi; -\dfrac{\pi}{24}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \right\}

S = \left\{ -\dfrac{5\pi}{24}+k\pi; -\dfrac{\pi}{24}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \right\}

S = \left\{ -\dfrac{5\pi}{12}+k\pi; -\dfrac{\pi}{12}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \right\}

S = \left\{ -\dfrac{5\pi}{12}+2k\pi; -\dfrac{\pi}{12}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \right\}

On remarque que :

\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right) =\dfrac{\sqrt3}{2} \Leftrightarrow \cos\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)

D'après le cours, on sait que :

\cos\left( a\right) =\cos\left(b\right)\Leftrightarrow\begin{cases} a=b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr a=-b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

Ici, en posant a = 2x+\dfrac{\pi}{4} et b =\dfrac{\pi}{6}, on obtient :

\begin{cases} 2x+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr 2x+\dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

On en déduit que :

\begin{cases} 2x=\dfrac{2\pi}{12}-\dfrac{3\pi}{12}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr 2x=-\dfrac{2\pi}{12}-\dfrac{3\pi}{12}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

\begin{cases} 2x=-\dfrac{\pi}{12}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr 2x=-\dfrac{5\pi}{12}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

\begin{cases} x=-\dfrac{\pi}{24}+k\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=-\dfrac{5\pi}{24}+k\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

L'ensemble des solutions de l'équation \cos\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right) =\dfrac{\sqrt3}{2} sur \mathbb{R} est :

S = \left\{ -\dfrac{5\pi}{24}+k\pi; -\dfrac{\pi}{24}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \right\}

Quelles sont les solutions de cette équation sur \left[ -\pi ; \pi \right] ?

S = \left\{- \dfrac{5\pi}{12} ;-\dfrac{\pi}{12} ; \dfrac{19\pi}{12} ; \dfrac{23\pi}{12} \right\}

S = \left\{- \dfrac{5\pi}{6} ;-\dfrac{\pi}{6} ; \dfrac{19\pi}{6} ; \dfrac{23\pi}{6} \right\}

S = \left\{- \dfrac{5\pi}{24} ;-\dfrac{\pi}{24} ; \dfrac{19\pi}{24} ; \dfrac{23\pi}{24} \right\}

S = \left\{- \dfrac{5\pi}{48} ;-\dfrac{\pi}{48} ; \dfrac{19\pi}{48} ; \dfrac{23\pi}{48} \right\}

On sait que l'ensemble des solutions de l'équation \cos\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right) =\dfrac{\sqrt3}{2} sur \mathbb{R} est :

S = \left\{ -\dfrac{5\pi}{24}+k\pi; -\dfrac{\pi}{24}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \right\}

Déterminons les solutions de cette équation sur \left[ -\pi ; \pi \right].

Etape 1

Pour -\dfrac{5\pi}{24}+k\pi

Si k = 0 on obtient -\dfrac{5\pi}{24}, or -\dfrac{5\pi}{24} \in \left[ -\pi ; \pi \right]
Si k = 1 on obtient \dfrac{19\pi}{24}, or \dfrac{19\pi}{24} \in \left[ -\pi ; \pi \right]
Si k = 2 on obtient \dfrac{43\pi}{24}, or \dfrac{43\pi}{24} \notin \left[ -\pi ; \pi \right]
Si k = -1 on obtient -\dfrac{29\pi}{24}, or -\dfrac{29\pi}{24} \notin \left[ -\pi ; \pi \right]

Etape 2

Pour -\dfrac{\pi}{24}+k\pi

Si k = 0 on obtient -\dfrac{\pi}{24}, or -\dfrac{\pi}{24} \in \left[ -\pi ; \pi \right]
Si k = 1 on obtient \dfrac{23\pi}{24}, or \dfrac{23\pi}{24} \in \left[ -\pi ; \pi \right]
Si k = 2 on obtient \dfrac{47\pi}{24}, or \dfrac{47\pi}{24} \notin \left[ -\pi ; \pi \right]
Si k = -1 on obtient -\dfrac{25\pi}{24}, or -\dfrac{25\pi}{24} \notin \left[ -\pi ; \pi \right]

L'ensemble des solutions sur \left[ -\pi;\pi \right] est :

S = \left\{- \dfrac{5\pi}{24} ;-\dfrac{\pi}{24} ; \dfrac{19\pi}{24} ; \dfrac{23\pi}{24} \right\}