Etudier une suite récurrente Exercice type bac

Métropole, 2016 − exercice 3, partie B.

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=x-\ln\left(x^2+1\right).

Soit \left(u_n\right) la suite définie par \begin{cases} u_0=1\\ u_{n+1}=f\left(u_n\right), \forall n\in\mathbb{N} \end{cases}

Pour tout entier n, à quel encadrement doit appartenir u_n ?

Quel est le sens de variation de la suite \left(u_n\right) ?

Que peut-on dire de la convergence de la suite ?

On note \ell la limite de la suite \left(u_n\right).

Quelle est la valeur de \ell ?

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