Soit la suite numérique \left(u_n\right) définie sur \mathbb{N} par \begin{cases} u_0=2\\ u_{n+1}=\dfrac{2}{3}u_{n}+\dfrac{1}{3}{n+1}, \forall n\in\mathbb{N} \end{cases}.
Quelles sont les valeurs de u_1, u_2, u_3 et u_4 ?
u_1=\cfrac{2}{3}u_0+\cfrac{1}{3}\times 0+1=\cfrac{2}{3}\times 2+1=\cfrac{7}{3}\approx 2{,}33
u_2=\cfrac{2}{3}u_1+\cfrac{1}{3}\times 1+1=\cfrac{2}{3}\times \cfrac{7}{3}+\cfrac{1}{3}+1=\cfrac{17}{9}+1=\cfrac{26}{9}\approx 2{,}89
u_3=\cfrac{2}{3}u_2+\cfrac{1}{3}\times 2+1=\cfrac{97}{27}\approx 3{,}59
u_4=\cfrac{2}{3}u_3+\cfrac{1}{3}\times 3+1=\cfrac{356}{81}\approx 4{,}4
À 10^{-2} près, on a :
u_1\approx 2{,}33\\u_2\approx 2{,}89\\u_3\approx 3{,}59\\u_4\approx 4{,}4
Dans quelle proposition a-t-on formulé une conjecture sur le sens de variation de cette suite ?
D'après la question précédente, on constate que :
u_0 \leq u_1 \leq u_2 \leq u_3 \leq u_4
La suite \left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}} semble donc être croissante.
Quelle proposition démontre que pour tout entier naturel n, u_{n} \leqslant n+3 ?
Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, u_n\leq n+3.
On note P_n, la propriété : u_n\leq n+3.
Initialisation :
Pour n=0, on a d'après l'énoncé :
u_0=2 et 0+3=3
Or, 2\leq 3 donc : u_{0}\leq 3
La propriété P_n est vraie pour n=0. P_0 est donc vraie.
Hérédité :
Supposons que pour un entier k\geq0 fixé, la propriété P_k est vraie. Montrons alors que la propriété P_{k+1} est vraie.
On a par hypothèse de récurrence :
u_k\leq k+3.
On multiplie par \cfrac{2}{3} \gt 0, on obtient :
\cfrac{2}{3}u_k\leq \cfrac{2}{3}\left(k+3\right), On ajoute un même nombre au deux membres de l'inégalité, on obtient :
\cfrac{2}{3}u_k+\cfrac{1}{3}k+1\leq \cfrac{2}{3}\left(k+3\right)+\cfrac{1}{3}k+1
Soit :
u_{k+1}\leq \cfrac{2}{3}k+3+\cfrac{1}{3}k
Soit :
u_{k+1}\leq k+3
Or, pour tout entier naturel k, k+3\leq k+4.
Donc :
u_{k+1}\leq k+3\leq k+4
Donc :
u_{k+1}\leq k+4,
La propriété P_{k+1} est alors vérifiée.
Conclusion :
- P_0 est vraie.
- Pour tout k\geq 0, P_k \text{ vraie }\Rightarrow P_{k+1}\text{ vraie }.
On a donc montré par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : u_n \leq n+3.
Quelle proposition démontre que pour tout entier naturel n, u_{n+1} - u_{n} = \dfrac{1}{3}\left({n+3-u_{n}}\right) ?
Pour tout entier naturel n,
u_{n+1}-u_n=\cfrac{2}{3}u_n+\cfrac{1}{3}n+1-u_n\\u_{n+1}-u_n=-\cfrac{1}{3}u_n+\cfrac{1}{3}n+1\\u_{n+1}-u_n=\cfrac{1}{3}\left(-u_n+n+3\right)\\
On a donc bien montré que pour tout entier naturel n, u_{n+1}-u_n=\cfrac{1}{3}\left(n+3-u_n\right).
Dans quelle proposition a-t-on déduit une validation de la conjecture précédente ?
On doit à présent valider la conjecture émise à la question 2.
D'après la question précédente, on a montré que pour tout entier naturel n, u_{n+1}-u_n=\cfrac{1}{3}\left(n+3-u_n\right)
Or, d'après la question 2.a), on sait que pour tout entier naturel n, u_n\leq n+3
Donc pour tout entier naturel n, -\cfrac{1}{3}u_n\geq -\cfrac{1}{3}\left(n+3\right).
Donc pour tout entier naturel n :
\cfrac{1}{3}\left(n+3-u_n\right)\geq\cfrac{1}{3}\left(n+3\right)-\cfrac{1}{3}\left(n+3\right)
Or, \cfrac{1}{3}\left(n+3\right)-\cfrac{1}{3}\left(n+3\right)=0 et u_{n+1}-u_n=\cfrac{1}{3}\left(n+3-u_n\right)
Donc, pour tout entier naturel n,
u_{n+1}-u_n\geq 0 par définition d'une suite croissant, \left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}} est donc croissante.
On a donc validé la conjecture. La suite \left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}} est donc bien croissante.