Etudier une suite récurrenteExercice type bac

Soit la suite numérique \left(u_n\right) définie sur \mathbb{N} par \begin{cases} u_0=2\\ u_{n+1}=\dfrac{2}{3}u_{n}+\dfrac{1}{3}{n+1}, \forall n\in\mathbb{N} \end{cases}.

Quelles sont les valeurs de u_1, u_2, u_3 et u_4 ?

Dans quelle proposition a-t-on formulé une conjecture sur le sens de variation de cette suite ?

Quelle proposition démontre que pour tout entier naturel n, u_{n} \leqslant n+3 ?

Quelle proposition démontre que pour tout entier naturel n, u_{n+1} - u_{n} = \dfrac{1}{3}\left({n+3-u_{n}}\right) ?

Dans quelle proposition a-t-on déduit une validation de la conjecture précédente ?

On désigne par \left(v_n\right) la suite définie sur \mathbb{N} par v_n = u_n −n.

a

Quelle proposition démontre que la suite \left(v_n\right) est une suite géométrique de raison \dfrac{2}{3} ?

b

Dans quelle proposition a-t-on déduit que pour tout entier naturel n, u_n = 2 \left(\dfrac{2}{3}\right)^n +n ?

c

Quelle est la limite de la suite \left(u_n\right) ?

Pour tout entier naturel non nul n, on pose :

S_n = \sum_{k=0}^{n}u_k = u_0 + u_1 + ... + u_n et T_n = \dfrac{S_n}{n^{2}}.

a

Quelle est l'expression de S_n en fonction de n ?

b

Quelle est la limite de la suite \left(T_n\right) ?

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