On considère une fonction f dont la courbe est la suivante :
Soient a, b et c trois réels. On sait que f est définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right) = e^{ax^2+bx+c}
Quelle est l'expression de f' la dérivée de f en fonction de a, b et c ?
La fonction f est dérivable sur \mathbb{R} en tant que composée de fonctions dérivables.
On pose, pour tout réel x, u\left(x\right) = ax^2+bx+c
On a, pour tout réel x, u'\left(x\right) = 2ax+b.
f = e^u donc f' = u' e^u
On en conclut que :
\forall x\in \mathbb{R} , f'\left(x\right) =\left(2ax+b\right)e^{ax^2+bx+c}.
\forall x\in \mathbb{R} , f'\left(x\right) =\left(2ax+b\right)e^{ax^2+bx+c}.
D'après les informations données par la courbe représentative de f, quelles sont les valeurs des réels a, b et c ?
On peut calculer les valeurs respectives des réels a, b et c en déterminant un système dont les inconnues sont a, b et c. Pour cela on exprime f\left(0\right), f\left(1\right) et f'\left(0\right) en fonction des réels a, b et c.
\begin{cases} f\left(0\right) = e\cr \cr f\left(1\right) = 1 \cr \cr f'\left(0\right)=0 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} e^{c}= e\cr \cr e^{a+b+c} = 1 \cr \cr be^c=0 \end{cases}
Or on sait que l'exponentielle est strictement positive, on en déduit que :
\begin{cases} e^c= e\cr \cr e^{a+b+c} = e^0 \cr \cr b=0 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} c=1\cr \cr a+1 =0 \cr \cr b=0 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} c=1\cr \cr a =-1 \cr \cr b=0 \end{cases}
Finalement, \forall x \in \mathbb{R}, f\left(x\right) =e^{-x^2+1}.