Déterminer l'expression d'une fonction à partir d'informations sur f et f' Exercice

La fonction f est dérivable sur \mathbb{R} en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur \mathbb{R}.

On remarque que f = uv avec pour tout réel x :

u\left(x\right)=ax+b et v\left(x\right) =e^{cx}.

On en déduit que f' =u'v +uv' avec, pour tout réel x :

u'\left(x\right) = a et v'\left(x\right) =ce^{cx}

On en conclut que :

\forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right) = a\times e^{cx} +\left(ax+b\right)\times c e^{cx}

\forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right) = e^{cx}\left(cax +bc + a\right)

On peut déduire de la courbe les informations suivantes :

• La courbe de f passe par le point \left(0 ; 1\right), donc f\left(0\right) = 1.
• La courbe de f passe par le point \left(-1 ; 0\right), donc f\left(-1\right) = 0.
• La tangente en x= 0 est horizontale, donc f '\left(0\right) = 0

On peut calculer les valeurs respectives des réels a, b et c en déterminant un système dont les inconnues sont a, b et c. Pour cela on exprime f\left(0\right), f\left(-1\right) et f'\left(0\right) en fonction des réels a, b et c.

\begin{cases} f\left(0\right) = 1 \cr \cr f\left(-1\right) = 0 \cr \cr f'\left(0\right)=0 \end{cases}

\Leftrightarrow\begin{cases} be^0 = 1 \cr \cr \left(-a+b\right) e^{-c} = 0 \cr \cr \left(bc+a\right)e^0 = 0 \end{cases}

\Leftrightarrow\begin{cases} b = 1 \cr \cr \left(1-a\right)e^{-c} = 0 \cr \cr bc +a = 0 \end{cases}

On sait que e^{-c} \gt 0 donc :

\begin{cases} b = 1 \cr \cr 1-a = 0 \cr \cr bc +a = 0 \end{cases}

\Leftrightarrow \begin{cases} b = 1 \cr \cr a = 1 \cr \cr c +1 = 0 \end{cases}

On obtient finalement :

\begin{cases} b = 1 \cr \cr a = 1 \cr \cr c =-1 \end{cases}