On considère une fonction f dont le tableau est le suivant :

Soient a, b et c trois réels. On sait que f est définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right) = ax^3+bx^2+c
Quelle est l'expression de f' la dérivée de f en fonction de a, b et c ?
La fonction f est dérivable sur \mathbb{R} en tant que somme de fonctions dérivables sur \mathbb{R}.
On obtient :
\forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right) =3ax^2 +2bx
\forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right) =3ax^2 +2bx
D'après les informations données par le tableau de variations de f, quelles sont les valeurs des réels a, b et c ?
On peut calculer les valeurs respectives des réels a, b et c en déterminant un système dont les inconnues sont a, b et c. Pour cela on exprime f\left(0\right), f\left(1\right) et f'\left(1\right) en fonction des réels a, b et c.
\begin{cases} f\left(0\right) = 2 \cr \cr f\left(1\right) = 1\cr \cr f'\left(1\right)=0 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} c = 2 \cr \cr a+b+c = 1\cr \cr 3a+2b=0 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} c = 2 \cr \cr a= -1-b\cr \cr 3a+2b=0 \end{cases}
On remplace l'expression trouvée pour a dans la dernière ligne :
\begin{cases} c = 2 \cr \cr a= -1-b\cr \cr 3\left(-1-b\right)+2b=0 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} c = 2 \cr \cr a= -1-b\cr \cr -3-b =0 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} c = 2 \cr \cr a= -1-b\cr \cr b =-3 \end{cases}
On obtient finalement :
\begin{cases} c = 2 \cr \cr a= 2\cr \cr b =-3 \end{cases}
Finalement, \forall x \in \mathbb{R}- \left\{ -2 \right\}, f\left(x\right) = 2x^3-3x^2+2