On définit la fonction f suivante sur \left]0 ; +\infty \right[ par :
f\left(x\right) =a \left(lnx\right)^2 +blnx +c
Avec a, b et c trois réels.
On sait que la fonction passe par les points A \left(e^{-1} ; -4\right) et A \left(1 ; -3\right) et que f'\left(e^{-1}\right) = 0.
Quelle est l'expression de f' la dérivée de f en fonction de a, b et c ?
La fonction f est dérivable sur \left] 0 ; +\infty \right[ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur \left] 0 ; +\infty \right[.
On sait que :
\left(u^2\right)'=2u'u.
Ici, on pose u\left(x\right)=lnx et on a u'\left(x\right)=\dfrac{1}{x}
On obtient donc :
\forall x \in\left] 0 ; +\infty \right[, f'\left(x\right) = a \dfrac{2lnx}{x}+\dfrac{b}{x}.
\forall x \in\left] 0 ; +\infty \right[, f'\left(x\right) = a \dfrac{2lnx}{x}+\dfrac{b}{x}.
D'après les informations présentes dans l'énoncé, quelles sont les valeurs des réels a, b et c ?
On peut calculer les valeurs respectives des réels a, b et c en déterminant un système dont les inconnues sont a, b et c. Pour cela on exprime f\left(e^{-1}\right), f\left(1\right) et f'\left(e^{-1}\right) en fonction des réels a, b et c.
\begin{cases} f\left(e^{-1}\right) = -4 \cr \cr f\left(1\right) = -3 \cr \cr f'\left(e^{-1}\right)=0 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} a \ln\left(e^{-1}\right)^2+b \ln\left(e^{-1}\right) +c = -4 \cr \cr a \left(ln1\right)^2+b ln1 +c = -3 \cr \cr a\dfrac{2\ln\left(e^{-1}\right)}{e^{-1}} + \dfrac{b}{e^{-1} }=0 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} a -b +c = -4 \cr \cr c = -3 \cr \cr \dfrac{-2a}{e^{-1}} + \dfrac{b}{e^{-1} }=0 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} a -b +c = -4 \cr \cr c = -3 \cr \cr -2a+b=0 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} a -b = -1 \cr \cr c = -3 \cr \cr -2a+b=0 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} a =b -1 \cr \cr c = -3 \cr \cr -2a+b=0 \end{cases}
En remplaçant a par b-1 dans la dernière équation on obtient :
\begin{cases} a =b -1 \cr \cr c = -3 \cr \cr -2\left(b-1\right)+b=0 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} a =1 \cr \cr c = -3 \cr \cr b= 2 \end{cases}
Finalement, \forall x \in\left] 0 ; +\infty \right[, f\left(x\right) = \left(lnx\right)^2+2\ln x -3.