On définit la fonction f suivante sur \mathbb{R}-\left\{ -3 \right\} par :
f\left(x\right) =\dfrac{ax^2+bx+c}{x+3}
Avec a, b et c trois réels.
On sait que la fonction passe par les points A \left(0;1\right) et A \left(1;2\right) et que f'\left(0\right) = \dfrac{2}{3}.
Quelle est l'expression de f' la dérivée de f en fonction de a, b et c ?
La fonction f est dérivable sur \mathbb{R}- \left\{ -3 \right\} en tant que somme et quotient de fonctions dérivables sur \mathbb{R}- \left\{ -3 \right\}.
On remarque que f = \dfrac{u}{v} avec, pour tout réel x,
u\left(x\right)=ax^2+bx+c et v\left(x\right) =x+3.
On en déduit que f' =\dfrac{u'v- uv'}{v^2} avec, pour tout réel x \neq 3 :
u'\left(x\right) = 2ax+b et v'\left(x\right) =1
On en déduit que :
\forall x \in \mathbb{R}-\left\{ -3 \right\}, f'\left(x\right) =\dfrac{\left(2ax+b\right)\left(x+3\right) - \left(ax^2+bx+c\right)\times 1}{\left(x+3\right)^2}.
\forall x \in \mathbb{R}-\left\{ -3 \right\}, f'\left(x\right) =\dfrac{2ax^2+bx+6ax+3b - ax^2-bx-c}{\left(x+3\right)^2}.
\forall x \in \mathbb{R}-\left\{ -3 \right\}, f'\left(x\right) =\dfrac{ax^2+6ax+3b -c}{\left(x+3\right)^2}.
\forall x \in \mathbb{R}-\left\{ -3 \right\}, f'\left(x\right) =\dfrac{ax^2+6ax+3b -c}{\left(x+3\right)^2}.
D'après les informations données dans l'énoncé, quelles sont les valeurs des réels a, b et c ?
On peut calculer les valeurs respectives des réels a, b et c en déterminant un système dont les inconnues sont a, b et c. Pour cela on exprime f\left(0\right), f\left(1\right) et f'\left(1\right) en fonction des réels a, b et c.
\begin{cases} f\left(0\right) = 1 \cr \cr f\left(1\right) = 2\cr \cr f'\left(0\right)=\dfrac{2}{3}\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} \dfrac{c}{3} = 1 \cr \cr \dfrac{a+b+c}{4} = 2\cr \cr \dfrac{3b-c}{9}=\dfrac{2}{3}\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} c= 3 \cr \cr a+b+3 = 8\cr \cr 3b-3=6\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} c= 3 \cr \cr a+b = 5\cr \cr 3b=9\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} c= 3 \cr \cr a+3 = 5\cr \cr b=3\end{cases}
On obtient finalement :
\Leftrightarrow \begin{cases} c= 3 \cr \cr a = 2\cr \cr b=3\end{cases}
Finalement, \forall x \in \mathbb{R}-\left\{ -3 \right\}, f\left(x\right) = \dfrac{2x^2+3x+3}{x+3}.