Soit f la fonction définie par : f\left(x\right)=6x^2-15x-9
On appelle P la parabole représentative de f, et D la droite d'équation : y=5x+7
Quelles sont les coordonnées des points d'intersection de la parabole P avec la droite D ?
Un point M\left(x;y\right) est un point d'intersection de la parabole P et de la droite D si et seulement si ses coordonnées vérifient les équations des deux courbes :
\begin{cases} y=6x^2-15x-9 \cr \cr y=5x+7 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} 5x+7=6x^2-15x-9 \cr \cr y=5x+7 \end{cases}
Résolvons (E) : 5x+7=6x^2-15x-9 :
5x+7=6x^2-15x-9\Leftrightarrow 6x^2-20x-16=0
Calcul du discriminant :
\Delta=b^2-4ac=\left(-20\right)^2-4\times6\times\left(-16\right)=400+384=784
\Delta\gt0 donc l'équation (E) admet deux solutions distinctes :
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{20-\sqrt{784}}{2\times6}=\dfrac{20-28}{12}=\dfrac{-8}{12}=-\dfrac{2}{3}
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{20+\sqrt{784}}{2\times6}=\dfrac{20+28}{12}=\dfrac{48}{12}=4
Ainsi :
\begin{cases} y=6x^2-15-9 \cr \cr y=5x+7 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x= -\dfrac{2}{3}\text{ ou }\ x= 4\cr \cr y=5x+7 \end{cases}
Si x=-\dfrac{2}{3}, y=5x+7=5\times\left(-\dfrac{2}{3}\right)+7=-\dfrac{10}{3}+\dfrac{21}{3}=\dfrac{11}{3}
Si x=4, y=5x+7=5\times4+7=27
P et D ont donc deux points d'intersection :
A\left( \dfrac{-2}{3};\dfrac{11}{3}\right) et B\left(4;27\right)
Soit f la fonction définie par : f\left(x\right)=-2x^2+2x-3
On appelle P la parabole représentative de f, et D la droite d'équation : y=3x-3
Quelles sont les coordonnées des points d'intersection de la parabole P avec la droite D ?
Un point M\left(x;y\right) est un point d'intersection de la parabole P et de la droite D si et seulement si ses coordonnées vérifient les équations des deux courbes :
\begin{cases} y=-2x^2+2x-3 \cr \cr y=3x-3 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} 3x-3=-2x^2+2x-3 \cr \cr y=3x-3 \end{cases}
Résolvons (E) : 3x-3=-2x^2+2x-3 :
3x-3=-2x^2+2x-3\Leftrightarrow -2x^2-x=0\Leftrightarrow x\left(-2x-1\right)=0\Leftrightarrow x=0\text{ ou } -2x-1=0\Leftrightarrow x=0\text{ ou } x=-\dfrac{1}{2}
Ainsi :
\begin{cases} y=-2x^2+2x-3 \cr \cr y=3x-3 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=0\text{ ou }\ x= -\dfrac{1}{2}\cr \cr y=3x-3 \end{cases}
Si x=0, y=3x-3=-3\times0-3=-3
Si x=-\dfrac{1}{2}, y=3x-3=3\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)-3=-\dfrac{3}{2}-\dfrac{6}{2}=-\dfrac{9}{2}
P et D ont donc deux points d'intersection :
A\left(0;-3\right) et B\left( -\dfrac{1}{2};-\dfrac{9}{2}\right)
Soit f la fonction définie par : f\left(x\right)=4x^2-6x+1
On appelle P la parabole représentative de f, et D la droite d'équation : y=2x-4
Quelles sont les coordonnées du ou des éventuels points d'intersection de la parabole P avec la droite D ?
Un point M\left(x;y\right) est un point d'intersection de la parabole P et de la droite D si et seulement si ses coordonnées vérifient les équations des deux courbes :
\begin{cases} y=4x^2-6x+1 \cr \cr y=2x-4 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} 2x-4=4x^2-6x+1 \cr \cr y=2x-4 \end{cases}
Résolvons (E) : 2x-4=4x^2-6x+1 :
2x-4=4x^2-6x+1\Leftrightarrow 4x^2-8x+5=0
Calcul du discriminant :
\Delta=b^2-4ac=\left(-8\right)^2-4\times4\times5=64-80=-16
\Delta\lt0 donc l'équation (E) n'admet pas de solution.
Le système : \begin{cases} y=4x^2-6x+1 \cr \cr y=2x-4 \end{cases} n'a donc pas de solution.
P et D n'ont pas de point d'intersection.
Soit f la fonction définie par : f\left(x\right)=-6x^2+16x-4
On appelle P la parabole représentative de f, et D la droite d'équation : y=-x+8
Quelles sont les coordonnées des points d'intersection de la parabole P avec la droite D ?
Un point M\left(x;y\right) est un point d'intersection de la parabole P et de la droite D si et seulement si ses coordonnées vérifient les équations des deux courbes :
\begin{cases} y=-6x^2+16x-4 \cr \cr y=-x+8 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} -x+8=-6x^2+16x-4 \cr \cr y=-x+8 \end{cases}
Résolvons (E) : -x+8=-6x^2+16x-4 :
-x+8=-6x^2+16x-4\Leftrightarrow -6x^2+17x-12=0
Calcul du discriminant :
\Delta=b^2-4ac=17^2-4\times\left(-6\right)\times\left(-12\right)=289-288=1
\Delta\gt0 donc l'équation (E) admet deux solutions distinctes :
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-17-\sqrt{1}}{2\times\left(-6\right)}=\dfrac{-17-1}{-12}=\dfrac{-18}{-12}=\dfrac{3}{2}
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-17+\sqrt{1}}{2\times\left(-6\right)}=\dfrac{-17+1}{-12}=\dfrac{-16}{-12}=\dfrac{4}{3}
Ainsi :
\begin{cases} y=-6x^2+16x-4 \cr \cr y=-x+8 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x= \dfrac{3}{2}\text{ ou }\ x= \dfrac{4}{3}\cr \cr y=-x+8 \end{cases}
Si x=\dfrac{3}{2}, y=-x+8=-\dfrac{3}{2}+8=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{16}{2}=\dfrac{13}{2}
Si x=\dfrac{4}{3}, y=-x+8=-\dfrac{4}{3}+8=-\dfrac{4}{3}+\dfrac{24}{3}=\dfrac{20}{3}
P et D ont donc deux points d'intersection :
A\left( \dfrac{3}{2}; \dfrac{13}{2}\right) et B\left( \dfrac{4}{3}; \dfrac{20}{3}\right)
Soit f la fonction définie par : f\left(x\right)=-x^2+x-1
On appelle P la parabole représentative de f, et D la droite d'équation : y=4x+2
Quelles sont les coordonnées du ou des éventuels points d'intersection de la parabole P avec la droite D ?
Un point M\left(x;y\right) est un point d'intersection de la parabole P et de la droite D si et seulement si ses coordonnées vérifient les équations des deux courbes :
\begin{cases} y=-x^2+x-1 \cr \cr y=4x+2 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} 4x+2=-x^2+x-1 \cr \cr y=4x+2 \end{cases}
Résolvons (E) : 4x+2=-x^2+x-1 :
4x+2=-x^2+x-1\Leftrightarrow -x^2-3x-3=0
Calcul du discriminant :
\Delta=b^2-4ac=\left(-3\right)^2-4\times\left(-1\right)\times\left(-3\right)=9-12=-3
\Delta\lt0 donc l'équation (E) n'admet pas de solution.
Le système : \begin{cases} y=-x^2+x-1 \cr \cr y=4x+2 \end{cases} n'a donc pas de solution.
P et D n'ont pas de point d'intersection.
Soit f la fonction définie par : f\left(x\right)=2x^2+10x-1
On appelle P la parabole représentative de f, et D la droite d'équation : y=3x-3
Quelles sont les coordonnées des points d'intersection de la parabole P avec la droite D ?
Un point M\left(x;y\right) est un point d'intersection de la parabole P et de la droite D si et seulement si ses coordonnées vérifient les équations des deux courbes :
\begin{cases} y=2x^2+10x-1 \cr \cr y=3x-3 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} 3x-3=2x^2+10x-1 \cr \cr y=3x-3 \end{cases}
Résolvons (E) : 3x-3=2x^2+10x-1 :
3x-3=2x^2+10x-1\Leftrightarrow 2x^2+7x+2=0
Calcul du discriminant :
\Delta=b^2-4ac=7^2-4\times2\times2=49-16=33
\Delta\gt0 donc l'équation (E) admet deux solutions distinctes :
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-7-\sqrt{33}}{2\times2}=\dfrac{-7-\sqrt{33}}{4}
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-7+\sqrt{33}}{2\times2}=\dfrac{-7+\sqrt{33}}{4}
Ainsi :
\begin{cases} y=2x^2+10x-1 \cr \cr y=3x-3 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x= \dfrac{-7-\sqrt{33}}{4}\text{ ou }\ x= \dfrac{-7-\sqrt{33}}{4}\cr \cr y=3x-3 \end{cases}
Si x=\dfrac{-7-\sqrt{33}}{4}, y=3x-3=3\times\dfrac{-7-\sqrt{33}}{4}-3=\dfrac{-21-3\sqrt{33}}{4}-\dfrac{12}{4}=\dfrac{-33-3\sqrt{33}}{4}
Si x=\dfrac{-7+\sqrt{33}}{4}, y=3x-3=3\times\dfrac{-7+\sqrt{33}}{4}-3=\dfrac{-21+3\sqrt{33}}{4}-\dfrac{12}{4}=\dfrac{-33+3\sqrt{33}}{4}
P et D ont donc deux points d'intersection :
A\left( \dfrac{-7-\sqrt{33}}{4};\dfrac{-33-3\sqrt{33}}{4}\right) et B\left( \dfrac{-7+\sqrt{33}}{4};\dfrac{-33+3\sqrt{33}}{4}\right)
Soit f la fonction définie par : f\left(x\right)=x^2+3x-5
On appelle P la parabole représentative de f, et D la droite d'équation : y=-2x
Quelles sont les coordonnées des points d'intersection de la parabole P avec la droite D ?
Un point M\left(x;y\right) est un point d'intersection de la parabole P et de la droite D si et seulement si ses coordonnées vérifient les équations des deux courbes :
\begin{cases} y=x^2+3x-5 \cr \cr y=-2x \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} -2x=x^2+3x-5 \cr \cr y=-2x \end{cases}
Résolvons (E) : -2x=x^2+3x-5 :
-2x=x^2+3x-5\Leftrightarrow x^2+5x-5=0
Calcul du discriminant :
\Delta=b^2-4ac=5^2-4\times1\times\left(-5\right)=25+20=45
\Delta\gt0 donc l'équation (E) admet deux solutions distinctes :
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-5-\sqrt{45}}{2\times1}=\dfrac{-5-\sqrt{3\times3\times5}}{2}=\dfrac{-5-3\sqrt{5}}{2}
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-5+\sqrt{45}}{2\times1}=\dfrac{-5+\sqrt{3\times3\times5}}{2}=\dfrac{-5+3\sqrt{5}}{2}
Ainsi :
\begin{cases} y=x^2+3x-5 \cr \cr y=-2x \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x= \dfrac{-5-3\sqrt{5}}{2}\text{ ou }\ x= \dfrac{-5+3\sqrt{5}}{2}\cr \cr y=-2x \end{cases}
Si x=\dfrac{-5-3\sqrt{5}}{2}, y=-2\times x=-2\times\dfrac{-5-3\sqrt{5}}{2}=5+3\sqrt{5}
Si x=\dfrac{-5+3\sqrt{5}}{2}, y=-2\times x=-2\times\dfrac{-5+3\sqrt{5}}{2}=5-3\sqrt{5}
P et D ont donc deux points d'intersection :
A\left( \dfrac{-5-3\sqrt{5}}{2};5+3\sqrt{5}\right) et B\left( \dfrac{-5+3\sqrt{5}}{2};5-3\sqrt{5}\right)