On considère l'inéquation trigonométrique suivante :
\sin \left(x\right) \geq \dfrac{1}{2}
Quel est l'ensemble S_1 des solutions de l'inéquation dans \left[ 0 ; 2\pi \right] ?
On sait que :
\dfrac{1}{2} = \sin \left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \sin \left(\pi -\dfrac{\pi}{6}\right) =\sin \left(\dfrac{5\pi}{6}\right)
Afin de résoudre l'inéquation sur \left[ 0; 2\pi\right], on trace le cercle trigonométrique en y renseignant les angles déterminés ci-dessus :
On obtient ainsi l'ensemble des points qui correspondent aux réels x tels que \sin \left(x\right) \geq \dfrac{1}{2}.
Afin de déterminer les solutions sur \left[ 0; 2\pi \right] :
- On part de \dfrac{\pi}{6} qui appartient à l'ensemble des solutions.
- On va jusqu'en \dfrac{5\pi}{6}, dernière solution de l'inéquation.
L'ensemble des solutions S_1 de l'inéquation sur \left[ 0; 2\pi \right] est donc :
S_1 = \left[ \dfrac{\pi}{6} ; \dfrac{5\pi}{6}\right]
Quel est l'ensemble S_2 des solutions de l'inéquation sur \left[-\pi ; \pi \right] ?
Sur \left[-\pi ; \pi \right] :
- On part de \dfrac{\pi}{6}, qui appartient à l'ensemble des solutions de l'inéquation sur \left[-\pi ; \pi \right].
- On va jusqu'en \dfrac{5\pi}{6}, dernière solution de l'inéquation sur \left[-\pi ; \pi \right].
L'ensemble des solutions S_2 de l'inéquation sur \left[-\pi ; \pi \right] est donc :
S_2 = \left[ \dfrac{\pi}{6} ; \dfrac{5\pi}{6}\right]
Quel est l'ensemble S_3 des solutions de l'inéquation sur \mathbb{R} ?
On sait que l'ensemble des solutions de l'inéquation sur \left[ 0 ; 2\pi \right] est :
S_1 = \left[ \dfrac{\pi}{6} ; \dfrac{5\pi}{6}\right]
On en déduit que l'ensemble des solutions de l'inéquation sur \mathbb{R} est la réunion des intervalles de la forme :
\left[ \dfrac{\pi}{6}+k2\pi ; \dfrac{5\pi}{6}+k2\pi\right], k\in\mathbb{Z}
S_3 =\bigcup_{k\in\mathbb{Z}} \left[ \dfrac{\pi}{6}+k2\pi ; \dfrac{5\pi}{6}+k2\pi\right]