On considère l'inéquation trigonométrique suivante :
\sin \left(x\right) \leq -\dfrac{\sqrt 2}{2}
Quel est l'ensemble S_1 des solutions de l'inéquation dans \left[ 0 ; 2\pi \right] ?
On sait que :
-\dfrac{\sqrt 2}{2}= \sin \left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = \sin \left(\pi -\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right) =\sin \left(\dfrac{5\pi}{4}\right)
Et que :
-\dfrac{\pi}{4} et \dfrac{7\pi}{4} représentent le même angle.
Afin de résoudre l'inéquation sur \left[ 0; 2\pi\right], on trace le cercle trigonométrique en y renseignant les angles déterminés ci-dessus :
On obtient ainsi l'ensemble des points qui correspondent aux réels x tels que \sin \left(x\right) \leq-\dfrac{\sqrt 2}{2}.
Afin de déterminer les solutions sur \left[ 0; 2\pi \right] :
- On part de \dfrac{5\pi}{4}.
- On va jusqu'en \dfrac{7\pi}{4}.
L'ensemble des solutions S_1 de l'inéquation sur \left[ 0; 2\pi \right] est donc :
S_1 = \left[ \dfrac{5\pi}{4} ; \dfrac{7\pi}{4}\right]
Déterminer l'ensemble S_2 des solutions de l'inéquation sur \left[-\pi ; \pi \right].
De nouveau, on trace le cercle trigonométrique, cette fois-ci en faisant apparaître les angles -\dfrac{\pi}{4} et -\dfrac{3\pi}{4} qui appartiennent à l'intervalle recherché.
Sur \left[-\pi ; \pi \right] :
- On part de -\dfrac{3\pi}{4}.
- On va jusqu'en -\dfrac{\pi}{4}.
L'ensemble des solutions S_2 de l'inéquation sur \left[-\pi ; \pi \right] est donc :
S_2 = \left[-\dfrac{3\pi}{4} ; -\dfrac{\pi}{4} \right]
Quel est l'ensemble S_3 des solutions de l'inéquation sur \mathbb{R} ?
On sait que l'ensemble des solutions de l'inéquation sur \left[ 0 ; 2\pi \right] est :
S_1 = \left[ \dfrac{5\pi}{4} ; \dfrac{7\pi}{4}\right]
On en déduit que l'ensemble des solutions de l'inéquation sur \mathbb{R} est la réunion des intervalles de la forme :
\left[ \dfrac{5\pi}{4}+k2\pi ; \dfrac{7\pi}{4}+k2\pi\right], k\in\mathbb{Z}
S_3 = \bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left[ \dfrac{5\pi}{4}+k2\pi ; \dfrac{7\pi}{4}+k2\pi\right]