Résoudre une inéquation trigonométrique du type sin(x)>a Exercice

On sait que :

-\dfrac{\sqrt 3}{2}= \sin \left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \sin \left(\pi -\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\right) =\sin \left(\dfrac{4\pi}{3}\right)

Et que :

-\dfrac{\pi}{3} et \dfrac{5\pi}{3} représentent le même angle.

Afin de résoudre l'inéquation sur \left[ 0; 2\pi\right], on trace le cercle trigonométrique en y renseignant les angles déterminés ci-dessus :

On obtient ainsi l'ensemble des points qui correspondent aux réels x tels que \sin \left(x\right) \gt -\dfrac{\sqrt 3}{2}.

Afin de déterminer les solutions sur \left[ 0; 2\pi \right] :

• On part de 0.
• On va jusqu'en \dfrac{4\pi}{3}.
• On repart de \dfrac{5\pi}{3}.
• On va jusqu'en 2\pi.

L'ensemble des solutions S_1 de l'inéquation sur \left[ 0; 2\pi \right] est donc :

De nouveau, on trace le cercle trigonométrique, cette fois-ci en faisant apparaître les angles -\dfrac{\pi}{3} et -\dfrac{2\pi}{3} qui appartiennent à l'intervalle recherché.

Sur \left[-\pi ; \pi \right] :

• On part de -\pi, qui appartient à l'intervalle des solutions sur \left[-\pi ; \pi \right].
• On va jusqu'en -\dfrac{2\pi}{3} en excluant cette valeur.
• On repart de -\dfrac{\pi}{3} en excluant cette valeur.
• On va jusqu'en \pi, qui appartient à l'intervalle des solutions sur \left[-\pi ; \pi \right].

L'ensemble des solutions S_2 de l'inéquation sur \left[-\pi ; \pi \right] est donc :

On sait que l'ensemble des solutions de l'inéquation sur \left[ 0 ; 2\pi \right] est :

S_1 = \left[ 0 ; \dfrac{4\pi}{3} \right[\cup \left] \dfrac{5\pi}{3} ; 2\pi \right]

On en déduit que l'ensemble des solutions de l'inéquation sur \mathbb{R} est la réunion des intervalles de la forme :

\left[ 0 + k2\pi ; \dfrac{4\pi}{3}+k2\pi \right[ et \left] \dfrac{5\pi}{3}+k2\pi; 2\pi +k2\pi \right] , k\in\mathbb{Z}