On considère l'inéquation trigonométrique suivante :
\sin \left(x\right) \leq \dfrac{\sqrt 3 }{2}
Quel est l'ensemble S_1 des solutions de l'inéquation dans \left[ 0 ; 2\pi \right] ?
On sait que :
\dfrac{\sqrt3 }{2} = \sin \left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \sin \left(\pi -\dfrac{\pi}{3}\right) =\sin \left(\dfrac{2\pi}{3}\right)
Afin de résoudre l'inéquation sur \left[ 0; 2\pi\right], on trace le cercle trigonométrique en y renseignant les angles déterminés ci-dessus :
On obtient ainsi l'ensemble des points qui correspondent aux réels x tels que \sin \left(x\right) \leq \dfrac{\sqrt 3 }{2}.
Afin de déterminer les solutions sur \left[ 0; 2\pi \right] :
- On part de 0 qui appartient à l'ensemble des solutions.
- On va jusqu'en \dfrac{\pi}{3}.
- On repart de \dfrac{2\pi}{3}.
- On va jusqu'en 2 \pi.
L'ensemble des solutions S_1 de l'inéquation sur \left[ 0; 2\pi \right] est donc :
S_1 = \left[ 0 ; \dfrac{\pi}{3} \right] \cup \left[ \dfrac{2\pi}{3} ;2\pi \right]
Quel est l'ensemble S_2 des solutions de l'inéquation sur \left[-\pi ; \pi \right] ?
Sur \left[-\pi ; \pi \right] :
- On part de -\pi, qui appartient à l'ensemble des solutions de l'inéquation sur \left[-\pi ; \pi \right].
- On va jusqu'en \dfrac{\pi}{3}.
- On repart de \dfrac{2\pi}{3}.
- On va jusqu'en \pi.
L'ensemble des solutions S_2 de l'inéquation sur \left[-\pi ; \pi \right] est donc :
S_2 = \left[-\pi ; \dfrac{\pi}{3} \right] \cup \left[ \dfrac{2\pi}{3} ; \pi \right]
Quel est l'ensemble S_3 des solutions de l'inéquation sur \mathbb{R} ?
On sait que l'ensemble des solutions de l'inéquation sur \left[ 0 ; 2\pi \right] est :
S_1 = \left[ 0 ; \dfrac{\pi}{3} \right] \cup \left[ \dfrac{2\pi}{3} ;2\pi \right]
On en déduit que l'ensemble des solutions de l'inéquation sur \mathbb{R} est donc la réunion des intervalles de la forme \left[ 0 + k2\pi ; \dfrac{\pi}{3}+ k2\pi \right] et \left[ \dfrac{2\pi}{3}+ k2\pi ;2\pi + k2\pi\right], k\in\mathbb{Z}
S_3=\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left( \left[ 0+k2\pi ; \dfrac{\pi}{3}+k2\pi \right] \cup \left[ \dfrac{2\pi}{3}+k2\pi ;2\pi+k2\pi \right]\right)