On considère l'inéquation trigonométrique suivante :
\sin \left(x\right) \leq -1
Quel est l'ensemble S_1 des solutions de l'inéquation dans \left[ 0 ; 2\pi \right] ?
On sait que :
-1= \sin \left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = \sin \left(\pi -\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)\right) =\sin \left(\dfrac{3\pi}{2}\right)
Et que :
-\dfrac{\pi}{2} et \dfrac{3\pi}{2} représentent le même angle.
Afin de résoudre l'inéquation sur \left[ 0; 2\pi\right], on trace le cercle trigonométrique en y renseignant l'angle déterminé ci-dessus :
On obtient ainsi l'ensemble des points qui correspondent aux réels x tels que \sin \left(x\right) \leq-1.
Afin de déterminer les solutions sur \left[ 0; 2\pi \right], on se place en \dfrac{3\pi}{2}.
L'ensemble des solutions S_1 de l'inéquation sur \left[ 0; 2\pi \right] est donc :
S_1 = \left\{ \dfrac{3\pi}{2} \right\}
Quel est l'ensemble S_2 des solutions de l'inéquation sur \left[-\pi ; \pi \right] ?
De nouveau, on trace le cercle trigonométrique, cette fois-ci en faisant apparaître l'angle -\dfrac{\pi}{2} qui appartient à l'intervalle recherché.
Sur \left[-\pi ; \pi \right] :
On part de -\dfrac{\pi}{2}.
L'ensemble des solutions S_2 de l'inéquation sur \left[-\pi ; \pi \right] est donc :
S_2 = \left\{- \dfrac{\pi}{2} \right\}
Quel est l'ensemble S_3 des solutions de l'inéquation sur \mathbb{R} ?
On sait que l'ensemble des solutions de l'inéquation sur \left[ 0 ; 2\pi \right] est :
S_1 = \left\{ \dfrac{3\pi}{2} \right\}
On en déduit que l'ensemble des solutions de l'inéquation sur \mathbb{R} est :
\left\{ \dfrac{3\pi}{2}+k2\pi, k\in\mathbb{Z} \right\}, k\in\mathbb{Z}
S_3=\left\{ \dfrac{3\pi}{2}+k2\pi, k\in\mathbb{Z} \right\}