On considère l'inéquation trigonométrique suivante :
\sin \left(x\right) \geq 0
Quel est l'ensemble S_1 des solutions de l'inéquation dans \left[ 0 ; 2\pi \right] ?
On sait que 0= \sin \left(0\right) = \sin \left(\pi -0\right) =\sin \left(\pi\right).
Afin de résoudre l'inéquation sur \left[ 0; 2\pi\right], on trace le cercle trigonométrique en y renseignant les angles déterminés ci-dessus :
On obtient ainsi l'ensemble des points qui correspondent aux réels x tels que \sin \left(x\right) \geq 0.
Afin de déterminer les solutions sur \left[ 0; 2\pi \right] :
- On part de 0 qui appartient à l'ensemble des solutions.
- On va jusqu'en \pi.
L'ensemble des solutions S_1 de l'inéquation sur \left[ 0; 2\pi \right] est donc :
S_1 = \left[ 0 ; \pi \right]
Quel est l'ensemble S_2 des solutions de l'inéquation sur \left[-\pi ; \pi \right] ?
Sur \left[-\pi ; \pi \right] :
- On part de 0, qui appartient à l'ensemble des solutions de l'inéquation sur \left[-\pi ; \pi \right].
- On va jusqu'en \pi, dernière solution de l'inéquation sur \left[-\pi ; \pi \right].
L'ensemble des solutions S_2 de l'inéquation sur \left[-\pi ; \pi \right] est donc :
S_2 = \left[0 ; \pi \right]
Quel est l'ensemble S_3 des solutions de l'inéquation sur \mathbb{R} ?
On sait que l'ensemble des solutions de l'inéquation sur \left[ 0 ; 2\pi \right] est :
S_1 = \left[ 0 ; \pi \right]
On en déduit que l'ensemble des solutions de l'inéquation sur \mathbb{R} est la réunion des intervalles de la forme :
\left[ 0 + k2\pi ; \pi+ k2\pi \right] , k\in\mathbb{Z}
S_3= \bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left[ 0+k2\pi ; \pi+k2\pi \right]