On considère un triangle ABC défini par les points :
- A (4;6)
- B (4;0)
- C (0;2)
Quelle est l'équation de la médiane passant par C et le milieu de [AB] et quelle est l'équation de la médiane passant par A et le milieu de [BC] ?
Il faut commencer par calculer les coordonnées de I, le milieu de [AB].
Pour cela, il suffit de faire la somme des coordonnées et de diviser par 2 :
I \begin{pmatrix} \dfrac{x_A + x_B}{2} \cr \dfrac{Y_A + Y_B}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\cr 3 \end{pmatrix}
On détermine maintenant l'équation cartésienne de (IC) :
M (x;y) \in (CI) \Leftrightarrow \overrightarrow{CM} et \overrightarrow{CI} sont colinéaires.
Avec :
\overrightarrow{CM} \begin{pmatrix} x\cr y-2\end{pmatrix}
\overrightarrow{CI} \begin{pmatrix} 4 \cr 1 \end{pmatrix}
Par définition de la colinéarité :
M (x;y) \in (CI) \Leftrightarrow \overrightarrow{CM} et \overrightarrow{CI} sont colinéaires \Leftrightarrow 4(y-2) - x =0 \Leftrightarrow 4y - 8 - x = 0 \Leftrightarrow 4y - x - 8 = 0 .
On procède de la même manière pour la médiatrice passant par A et le milieu de [BC].
I' \begin{pmatrix} 2 \cr 1 \end{pmatrix} milieu de [BC].
M (x;y) \in (AI') \Leftrightarrow \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{AI'} sont colinéaires. \Leftrightarrow (x-4)\times (-5) -(y-6)\times (-2) =0 \Leftrightarrow -5x + 20 + 2y - 12 = 0 \Leftrightarrow -5x + 2y + 8 = 0 .
L'équation cartésienne de la médiane passant par C et le milieu de [AB] est donc :
4y-x-8 = 0
L'équation de la médiane passant par A et le milieu de [BC] est donc :
-5x +2y+8 = 0
Quelles sont les coordonnées du point G, point d'intersection des médianes du triangle ?
D'après la question précédente, on connaît les équations de deux des trois médianes du triangle, ce qui suffit pour trouver les coordonnées du point G.
Pour ceci, on résout le système :
\left \{ \begin{array}{rcl} -x+4y-8=0 \\ -5x+2y+8=0 \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} -18y+48 = 0\\ -5x+2y+8=0 \end{array} \right. obtenue en additionnant la seconde ligne à la première ligne multipliée par -5
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} y = \dfrac{8}{3}\\ -5x=-2 \times \dfrac{8}{3} -8 \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} y = \dfrac{8}{3}\\ -5x= \dfrac{-40}{3} \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} y = \dfrac{8}{3}\\ x= \dfrac{8}{3} \end{array} \right.
Le point G a donc pour coordonnées \dfrac{8}{3} ; \dfrac{8}{3}.
Quelles sont les équations cartésiennes des médiatrices de (AB) et (BC) ?
On rappelle que la médiatrice de la droite (AB) est la droite qui la coupe perpendiculairement en son milieu.
D'après la question 1, les coordonnées de I sont :
I \begin{pmatrix} 4 \cr 3 \end{pmatrix}
M \: (x;y) appartient à la médiatrice de (AB)
\Leftrightarrow \: \overrightarrow{MI} et \overrightarrow{AB} sont orthogonales.
On a :
\overrightarrow{MI} \: \begin{pmatrix} x-4 \cr y-3 \end{pmatrix}
et \overrightarrow{AB} \: \begin{pmatrix} 0 \cr -6 \end{pmatrix}
Par définition de l'orthogonalité :
\overrightarrow{MI} et \overrightarrow{AB} sont orthogonales.
\Leftrightarrow \overrightarrow{MI} \cdot \overrightarrow{AB}=0 \Leftrightarrow (x-4)\times 0 +(y-3)\times(-6) = 0 \Leftrightarrow -6y+18=0
Remarque : cette droite est parallèle à l'axe des abscisses.
De la même manière, on peut trouver l'équation de la médiatrice de BC en utilisant son milieu I' \: (2;1).
M \: (x;y) appartient à la médiatrice de (BC) \overrightarrow{MI'} et \overrightarrow{BC} sont orthogonales \Leftrightarrow \overrightarrow{MI'} \cdot \overrightarrow{BC}=0 \Leftrightarrow (x-2)\times (-4) +(y-1)\times(2) = 0 \Leftrightarrow -4x+2y +6=0
L'équation cartésienne de la médiatrice de (AB) est donc :
-6y+18=0
L'équation cartésienne de la médiatrice de (AB) est donc :
-4x+2y+6=0
Quelles sont les coordonnées de K le centre du cercle circonscrit du triangle ABC, point d'intersection des médiatrices des côtés du triangle ?
De la même manière que pour la question 2, les droites cartésiennes de deux des trois médiatrices suffisent pour trouver les coordonnées du point K.
Pour cela, il suffit de résoudre le système :
\left \{ \begin{array}{rcl}-6y+18=0 \\ -4x+2y+6=0 \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl}y=3 \\ 4x=12\end{array} \right.
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl}y=3 \\ x=3\end{array} \right.
Les coordonnées du centre du cercle circonscrit du triangle sont donc K\:(3;3).
On appelle droite d'Euler d'un triangle la droite qui passe par le point d'intersection des médianes et celui des médiatrices.
Quelle est son équation pour le triangle ABC ?
Le point d'intersection des médianes est le point G(\dfrac{8}{3} ; \dfrac{8}{3}).
Le point d'intersection des médiatrices est le point K(3 ; 3).
Un point M(x ; y) appartient à la droite (GK) si et seulement si \overrightarrow{KM} et \overrightarrow{KG} sont colinéaires.
On a \overrightarrow{KM}(x-3 ; y-3) et \overrightarrow{KG}(\dfrac{-1}{3} ; \dfrac{-1}{3}).
\overrightarrow{KM} et \overrightarrow{KG} sont colinéaires.
\Leftrightarrow \dfrac{-1}{3}(x-3) - \dfrac{-1}{3}(y-3) = 0\\\Leftrightarrow \dfrac{-1}{3}x +1 + \dfrac{1}{3}y - 1 = 0\\\Leftrightarrow \dfrac{-1}{3}x + \dfrac{1}{3}y = 0
L'équation de la droite d'Euler du triangle ABC est donc \dfrac{-x}{3} + \dfrac{y}{3} = 0.