Calcul vectoriel et produit scalaireCours

I

Définition et calcul du produit scalaire de deux vecteurs

Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel que l'on peut calculer de quatre manières différentes en fonction des informations données.

Produit scalaire

Soit \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs non nuls, et A, B, C trois points du plan tels que \overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB} et \overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}. On appelle produit scalaire de \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} le nombre réel, noté \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}, défini par


\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}= \left\Vert \overrightarrow{AB} \right\Vert \times\left\Vert \overrightarrow{AC} \right\Vert \times \cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=AB\times AC\times \cos\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)

Le triangle ABC ci-dessous est un triangle équilatéral de côté 5 cm.

-

On a :

\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}= AB\times AC\times \cos\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)

Avec :

  • AB=5
  • AC=5
  • cos\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=cos\left( \dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}

D'où :

\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=5\times 5\times \dfrac{1}{2}

\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=12{,}5

Si l'un, au moins, des deux vecteurs est nul, alors, par convention : 

\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=0

Soit A, B, C et D quatre points du plan (avec A\neq B et C\neq D). Soient A' et B' les projetés orthogonaux des points A et B sur la droite (CD). Alors :

\overrightarrow{AB}\cdot~\overrightarrow{CD}=A'B'\times CD  si  \overrightarrow{A'B'}  et  \overrightarrow{CD}  sont dans le même sens.

  \overrightarrow{AB}\cdot~\overrightarrow{CD}=-A'B'\times CD  si  \overrightarrow{A'B'}  et  \overrightarrow{CD}  sont de sens contraire.

Sur la figure ci-dessous, l'unité du quadrillage est l'unité graphique du repère.

On y trouve quatre points A, B, C et D. Les points A' et B' sont les projetés orthogonaux des points A et B sur la droite (CD).

-

\overrightarrow{A'B'} et \overrightarrow{CD} sont de même sens. On a donc :

\overrightarrow{AB}\cdot~\overrightarrow{CD}=A'B'\times CD

On obtient :

\overrightarrow{AB}\cdot~\overrightarrow{CD}=2\times 4

\overrightarrow{AB}\cdot~\overrightarrow{CD}=8

Soit \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs du plan. Alors :

\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\dfrac{1}{2}\left( \left\| \overrightarrow{u}\right\|^2+\left\| \overrightarrow{v} \right\|^2-\left\| \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v} \right\|^2\right)  

\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\dfrac{1}{2}\left( \left\| \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right\|^2-\left\| \overrightarrow{u}\right\Vert^2-\left\Vert \overrightarrow{v}\right\|^2\right)

\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\dfrac{1}{4}\left( \left\Vert \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right\Vert^2-\left\Vert \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\right\Vert^2\right)

On considère un triangle ABC équilatéral de côté 8 cm.

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On a :

\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\left(\Vert\overrightarrow{AC}\Vert^2+\Vert\overrightarrow{AB}\Vert^2-\Vert\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\Vert^2\right)

\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\left(\Vert\overrightarrow{AC}\Vert^2+\Vert\overrightarrow{AB}\Vert^2-\Vert\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}\Vert^2\right)

\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\left(\Vert\overrightarrow{AC}\Vert^2+\Vert\overrightarrow{AB}\Vert^2-\Vert\overrightarrow{BC}\Vert^2\right)

\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\left(8^2+8^2-8^2\right)

\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=32

On en déduit par exemple que deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux si, et seulement si,  \left\| \overrightarrow{u}\right\|^2+\left\| \overrightarrow{v}\right\|^2=\left\| \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right\|^2, ce qui rappelle le théorème de Pythagore.

En écrivant la deuxième identité sous la forme  \left\Vert \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right\Vert^2=\left\Vert \overrightarrow{u}\right\Vert^2+2× \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}+\left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert^2, on obtient une identité très proche de l'identité remarquable de seconde. Cela peut servir de moyen mnémotechnique.

Soient \overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} deux vecteurs du plan. Alors, 

\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=xx'+yy'

Sur la figure ci-contre, on trouve quatre points A, B, C et D dans un repère orthonormé \left(O;\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath}\right).

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Le vecteur \overrightarrow{AB} a pour coordonnées \begin{pmatrix} 2\\2 \end{pmatrix} et le vecteur \overrightarrow{CD} a pour coordonnées \begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}.

On obtient donc :

\overrightarrow{AB}\cdot~\overrightarrow{CD}=2\times 4+2\times 0

\overrightarrow{AB}\cdot~\overrightarrow{CD}=8

II

Les propriétés du produit scalaire

Le produit scalaire possède des propriétés calculatoires à connaître et un lien avec l'orthogonalité.

A

Les propriétés calculatoires

Le produit scalaire possède des propriétés calculatoires qui rappellent celles du produit de nombres.

Soit \overrightarrow{u} un vecteur du plan. Alors :  

\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u}= \left\Vert \overrightarrow{u} \right\Vert^2

Soit A(2;3) et B(−3;9) deux points du plan. On a :

\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\end{pmatrix}

\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-3-2\\9-3\end{pmatrix}

\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-5\\6\end{pmatrix}

Ainsi :

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}=(-5)\times (-5)+6\times 6

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}=61

Donc :

\Vert\overrightarrow{AB}\Vert^2=61

Comme une longueur est toujours positive, on en déduit :

\Vert\overrightarrow{AB}\Vert=\sqrt{61}

Soit \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs du plan. Alors, 

\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{u}

Soit \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs du plan tels que \overrightarrow{u}\begin{pmatrix}1\\5\end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix}-3\\7\end{pmatrix}.

Alors :

\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=1\times (-3)+5\times 7=32

Et :

\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{u}=(-3)\times 1+7\times 5=32

On a bien :

\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{u}

On dit que le produit scalaire est symétrique ou commutatif.

Soit \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} trois vecteurs du plan et soit \lambda un nombre réel. Alors :

\overrightarrow{u}\cdot\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right)=\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{w} (distributivité à gauche)

\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)\cdot\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{w}+\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{w} (distributivité à droite)

\left( \lambda\overrightarrow{u}\right)\cdot\overrightarrow{v}=\lambda\left( \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}\right)

\overrightarrow{u}\cdot\left( \lambda\overrightarrow{v}\right)=\lambda\left( \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}\right)

Soit \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs du plan tels que \overrightarrow{u}\begin{pmatrix}1\\5\end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix}-3\\7\end{pmatrix}.

Alors :

5\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}5\\25\end{pmatrix}

On en déduit :

\left(5\times \overrightarrow{u}\right)\cdot\overrightarrow{v}=5\times (-3)+25\times 7=160

Et :

5\times \left(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}\right)=5\times \left(1\times (−3)+5\times 7\right)=5\times 32=160

On a bien :

\left(5\overrightarrow{u}\right)\cdot\overrightarrow{v}=5\times \left(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}\right)

B

Le produit scalaire et l'orthogonalité

Le produit scalaire de deux vecteurs permet de vérifier si ces vecteurs sont orthogonaux, et donc si des droites sont perpendiculaires.

Soit \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs non nuls du plan. Alors, 

\overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux si, et seulement si, \overrightarrow{u}\cdot~\overrightarrow{v}=0

Sur la figure ci-contre l'unité du quadrillage est l'unité graphique du repère. On y trouve quatre points A, B, C et D tels que les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} sont orthogonaux.

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Le point A' est à la fois le projeté orthogonal du point A et celui du point B sur la droite (CD).

Ainsi :

\overrightarrow{AB}\cdot~\overrightarrow{CD}=A'A'\times CD

On obtient bien :

\overrightarrow{AB}\cdot~\overrightarrow{CD}=0\times 4

\overrightarrow{AB}\cdot~\overrightarrow{CD}=0

Si \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont deux vecteurs du plan de coordonnées respectives \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} et \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}, alors

\overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux si, et seulement si, xx'+yy'=0

Soit \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs du plan tels que \overrightarrow{u}\begin{pmatrix}1\\5\end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix}x\\2\end{pmatrix}.

On cherche x tel que \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} soient orthogonaux.

On sait que :

(\overrightarrow{u et \overrightarrow{v} soient orthogonaux si, et seulement si 1\times x+5\times 2=0.

On obtient alors :

x+10=0

Soit :

x=−10

Ainsi, \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} soient orthogonaux si, et seulement si x=−10.

III

Quelques applications du produit scalaire

Le produit scalaire permet de calculer des longueurs, des mesures d'angles et de décrire certains ensembles de points comme les cercles.

Soit \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs du plan. Alors, 

\left\Vert \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right\Vert^2=\left\Vert \overrightarrow{u}\right\Vert^2+2\left( \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}\right)+\left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert^2

Les propriétés précédentes donnent :

\left\Vert \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right\Vert^2=\left( \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)\cdot\left( \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)

\left\Vert \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right\Vert^2=\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}+\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{v}

\left\Vert \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right\Vert^2=\left\Vert \overrightarrow{u}\right\Vert^2+\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}+\left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert^2

\left\Vert\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} \right\Vert^2=\left\Vert \overrightarrow{u}\right\Vert^2+2\left( \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}\right)+\left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert^2

Soit ABC un triangle quelconque. On note BC=a, AC=b et AB=c.

-

On a alors :

a^2=b^2+c^2−2bc\times \cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right)

Soit ABC un triangle quelconque. On note BC=a, AC=b et AB=c.

On a :

a^2=BC^2

a^2=\left\Vert \overrightarrow{BC}\right\Vert^2

a^2=\left\Vert \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right\Vert^2

a^2=\left\Vert \overrightarrow{BA}\right\Vert^2+2\left( \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{AC}\right)+\left\Vert \overrightarrow{AC}\right\Vert^2

a^2=BA^2−2\times \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}+AC^2

a^2=c^2−2\times \left\Vert \overrightarrow{AB}\right\Vert\times \left\Vert\overrightarrow{AC} \right\Vert\times \cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right)+b^2

a^2=b^2+c^2−2bc\times\cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right)

Soit ABC un triangle quelconque. On note BC=a, AC=b et AB=c. On a également :

  • b^2=a^2+c^2−2ac\times \cos\left(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC} \right)
  • c^2=a^2+b^2−2ab\times \cos\left(\overrightarrow{CA};\overrightarrow{CB} \right)

On appelle cette propriété le théorème de Pythagore généralisé ou formule d'Al-Kashi.

On donne la figure suivante. On cherche à calculer la longueur  BC.

-

Avec les données de l'énoncé, on obtient :

BC^2=AB^2+AC^2−2\times AB\times AC\times\cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right)

BC^2=8^2+3^2−2\times 8\times 3\times \cos\left(30^\circ\right)

BC^2=64+9−48\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}

BC^2=73−24\sqrt{3}

Comme BC\geq 0, on obtient :

BC=\sqrt{73−24\sqrt{3}}

BC\approx 5{,}61

Soit A et B des points du plan. Notons I le milieu du segment [AB]. Alors, pour tout point M du plan, on a :

\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=MI^2-\dfrac{1}{4}AB^2

Soit A et B des points du plan. Notons I le milieu du segment [AB].

On a alors :

\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)\cdot\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)

\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=MI^2+\overrightarrow{MI}\cdot\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}\cdot\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\cdot\overrightarrow{IB}

\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=MI^2+\overrightarrow{MI}\cdot\left( \overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}\right)+\overrightarrow{IA}\cdot\overrightarrow{IB}

Comme I est le milieu du segment [AB], on obtient :

\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{0} et \overrightarrow{IA}\cdot~\overrightarrow{IB}=-\dfrac{1}{4}AB^2

On en déduit finalement :

\overrightarrow{MA}\cdot~\overrightarrow{MB}=MI^2-\dfrac{1}{4}AB^2

On peut obtenir des formules analogues pour MA^2+MB^2 ou MA^2-MB^2.

Soit A et B des points du plan. Notons I le milieu du segment [AB].

L'ensemble des points M du plan tels que \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0 est le cercle de centre I et de rayon \dfrac{1}{2}AB.

Soit A, B et M des points du plan. Notons I le milieu du segment [AB].

D'après le théorème précédent, on a :

\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\Leftrightarrow MI^2-\dfrac{1}{4}AB^2=0

\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\Leftrightarrow MI^2=\dfrac{1}{4}AB^2

Comme MI\geq 0 et AB\geq 0, on obtient :

\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\Leftrightarrow MI=\dfrac{1}{2}AB

L'ensemble des points M du plan tels que \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0 est bien le cercle de centre I et de rayon \dfrac{1}{2}AB.

Autrement dit, l'ensemble des points M du plan tels que \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0 est le cercle de diamètre [AB].

Sur la figure ci-dessous, on a deux points A et B.

L'ensemble des points M du plan tels que \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0 est le cercle de diamètre [AB].

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On retrouve ainsi que si le triangle MAB est rectangle en M, alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse.