Calcul vectoriel et produit scalaire Cours

Sommaire

IProduit scalaire de deux vecteurs dans le planIIQuelques propriétés du produit scalaireIIIQuelques applications du produit scalaire

Dans tout le présent chapitre, on considère le plan muni d'un repère orthonormé \left(O;\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath}\right).

I

Produit scalaire de deux vecteurs dans le plan

Produit scalaire

Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs non nuls, et A, B, C trois points du plan tels que \overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB} et \overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}.

  • On appelle produit scalaire de \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} le nombre réel, noté \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}, défini par
    \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}= \left\Vert \overrightarrow{AB} \right\Vert \times\left\Vert \overrightarrow{AC} \right\Vert \times \cos\left( \widehat{BAC}\right)=AB\times AC\times \cos\left( \widehat{BAC}\right).
  • Si l'un, au moins, des deux vecteurs est nul, alors, par convention, \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=0.

Le triangle ABC ci-dessous est un triangle équilatéral de côté 5 cm.

On a :

\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=5\times 5\times \cos\left( 60^\circ\right)

\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=5\times 5\times \dfrac{1}{2}

\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=12,5

-

Soient A, B, C et D quatre points du plan (avec A\neq B et C\neq D), et A', B' les projetés orthogonaux des points A et B sur la droite (CD).

Alors : \overrightarrow{AB}\cdot~\overrightarrow{CD}=\begin{cases}A'B'\times CD \text{ si }\overrightarrow{A'B'}\text{ et }\overrightarrow{CD}\text{ sont de même sens}\\-A'B'\times CD \text{ si }\overrightarrow{A'B'}\text{ et }\overrightarrow{CD}\text{ sont de sens contraires}\end{cases}

Le projeté orthogonal d'un point sur une droite est vu en classe de seconde. Reporte-toi au chapitre correspondant.

Sur la figure ci-dessous, l'unité du quadrillage est l'unité graphique du repère.

On y trouve quatre points A, B, C et D.

Les points A' et B' sont les projetés orthogonaux des points A et B sur la droite (CD).

Alors :

\overrightarrow{AB}\cdot~\overrightarrow{CD}=A'B'\times CD, car \overrightarrow{A'B'} et \overrightarrow{CD} sont de même sens.

On obtient donc :

\overrightarrow{AB}\cdot~\overrightarrow{CD}=2\times 4

\overrightarrow{AB}\cdot~\overrightarrow{CD}=8

-
II

Quelques propriétés du produit scalaire

Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs non nuls du plan. Alors, \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux si, et seulement si, \overrightarrow{u}\cdot~\overrightarrow{v}=0.

Sur la figure ci-contre l'unité du quadrillage est l'unité graphique du repère.

On y trouve quatre points A, B, C et D tels que les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} sont orthogonaux.

Le point A' est à la fois le projeté orthogonal du point A et celui du point B sur la droite (CD).

Alors, \overrightarrow{AB}\cdot~\overrightarrow{CD}=A'A'\times CD.

On obtient donc :

\overrightarrow{AB}\cdot~\overrightarrow{CD}=0\times 4

\overrightarrow{AB}\cdot~\overrightarrow{CD}=0

-

Soit \overrightarrow{u} un vecteur du plan. Alors,  \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u}= \left\Vert u \right\Vert^2.

Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs du plan. Alors :

  • \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\dfrac{1}{2}\left( \left\| \overrightarrow{u}\right\|^2+\left\| \overrightarrow{v} \right\|^2-\left\| \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v} \right\|^2\right)  
  • \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\dfrac{1}{2}\left( \left\| \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right\|^2-\left\| \overrightarrow{u}\right\Vert^2-\left\Vert \overrightarrow{v}\right\|^2\right)
  • \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\dfrac{1}{4}\left( \left\Vert \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right\Vert^2-\left\Vert \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\right\Vert^2\right)

On en déduit par exemple que deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux si, et seulement si,  \left\| \overrightarrow{u}\right\|^2+\left\| \overrightarrow{v}\right\|^2=\left\| \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right\|^2, ce qui rappelle évidemment le théorème de Pythagore.

En écrivant la deuxième identité sous la forme  \left\Vert \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right\Vert^2=\left\Vert \overrightarrow{u}\right\Vert^2+2× \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}+=\left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert^2, on obtient une identité très proche de l'identité remarquable de seconde. Cela peut servir de moyen mnémotechnique.

Soient \overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} deux vecteurs du plan. Alors, \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=xx'+yy'.

Ainsi, si \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont deux vecteurs du plan de coordonnées respectives \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} et \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}, alors \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux si, et seulement si, xx'+yy'=0.

Sur la figure ci-contre, on trouve quatre points A, B, C et D dans un repère orthonormé \left(O;\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath}\right).

Le vecteur \overrightarrow{AB} a pour coordonnées \begin{pmatrix} 2\\2 \end{pmatrix} et le vecteur \overrightarrow{CD} a pour coordonnées \begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}.

On obtient donc :

\overrightarrow{AB}\cdot~\overrightarrow{CD}=2\times 4+2\times 0

\overrightarrow{AB}\cdot~\overrightarrow{CD}=8

-

On retrouve bien le résultat de l'exemple lié à la deuxième formule.

Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs du plan. Alors, \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{u}

On dit que le produit scalaire est symétrique ou commutatif.

Soient \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} trois vecteurs du plan et soit \lambda un nombre réel quelconque. Alors :

  • \overrightarrow{u}\cdot\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right)=\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{w} (distributivité à gauche)
  • \left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)\cdot\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{w}+\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{w} (distributivité à droite)
  • \left( \lambda\overrightarrow{u}\right)\cdot\overrightarrow{v}=\lambda\left( \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}\right)
  • \overrightarrow{u}\cdot\left( \lambda\overrightarrow{v}\right)=\lambda\left( \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}\right)
III

Quelques applications du produit scalaire

Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs du plan. Alors,  \left\Vert \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right\Vert^2=\left\Vert \overrightarrow{u}\right\Vert^2+2\left( \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}\right)+\left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert^2.

Les propriétés précédentes donnent :

  • \left\Vert \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right\Vert^2=\left( \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)\cdot\left( \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)
  • \left\Vert \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right\Vert^2=\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}+\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{v}
  • \left\Vert \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right\Vert^2=\left\Vert \overrightarrow{u}\right\Vert^2+\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}+\left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert^2
  • \left\Vert\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} \right\Vert^2=\left\Vert \overrightarrow{u}\right\Vert^2+2\left( \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}\right)+\left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert^2
  • \left\Vert\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} \right\Vert^2=\left\Vert \overrightarrow{u}\right\Vert^2+2\left( \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}\right)+\left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert^2

Soit ABC un triangle quelconque. Avec les notations de la figure, on a :

a^2=b^2+c^2−2bc\times \cos\left( \widehat{BAC}\right)

-

Avec les notations de l'énoncé et de la figure, on a :

a^2=BC^2

a^2=\left\Vert \overrightarrow{BC}\right\Vert^2

a^2=\left\Vert \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right\Vert^2

a^2=\left\Vert \overrightarrow{BA}\right\Vert^2+2\left( \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{AC}\right)+\left\Vert \overrightarrow{AC}\right\Vert^2

a^2=BA^2−2\times \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}+AC^2

a^2=c^2−2\times \left\Vert \overrightarrow{AB}\right\Vert\times \left\Vert\overrightarrow{AC} \right\Vert\times \cos\left( \widehat{BAC}\right)+b^2

a^2=b^2+c^2−2bc\times \cos\left( \widehat{BAC}\right)

On a également, avec les mêmes notations :

  • b^2=a^2+c^2−2ac\times \cos\left( \widehat{ABC}\right)
  • c^2=a^2+b^2−2ab\times \cos\left( \widehat{ACB}\right)

On appelle parfois cette propriété le théorème de Pythagore généralisé ou formule d'Al-Kashi.

Avec les données de l'énoncé, on obtient :

BC^2=AB^2+AC^2−2\times AB\times AC\times \cos\left( \widehat{BAC}\right)

BC^2=8^2+3^2−2\times 8\times 3\times \cos\left(30^\circ\right)

BC^2=64+9−48\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}

BC^2=73−24\sqrt{3}

Comme BC\geq 0, on obtient :

BC=\sqrt{73−24\sqrt{3}}

BC\approx 5,61

-

Soient A et B des points du plan. Notons I le milieu du segment [AB].

Alors, pour tout point M du plan, on a \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=MI^2-\dfrac{1}{4}AB^2.

Avec les notations de l'énoncé, on a :

\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)\cdot\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)

\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=MI^2+\overrightarrow{MI}\cdot\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}\cdot\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\cdot\overrightarrow{IB}

\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=MI^2+\overrightarrow{MI}\cdot\left( \overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}\right)+\overrightarrow{IA}\cdot\overrightarrow{IB}

Comme I est le milieu du segment [AB], on obtient :

\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{0} et \overrightarrow{IA}\cdot~\overrightarrow{IB}=-\dfrac{1}{4}AB^2

On en déduit finalement :

\overrightarrow{MA}\cdot~\overrightarrow{MB}=MI^2-\dfrac{1}{4}AB^2

On peut obtenir des formules analogues pour MA^2+MB^2 ou MA^2-MB^2.

Soient A et B des points du plan. Notons I le milieu du segment [AB].

L'ensemble des points M du plan tels que \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0 est le cercle de centre I et de rayon \dfrac{1}{2}AB.

Soient A, B et M des points du plan.

Notons I le milieu du segment [AB].

D'après le théorème précédent, on a :

\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\Leftrightarrow MI^2-\dfrac{1}{4}AB^2=0

\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\Leftrightarrow MI^2=\dfrac{1}{4}AB^2

Comme MI\geq 0 et AB\geq 0, on obtient :

\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\Leftrightarrow MI=\dfrac{1}{2}AB

L'ensemble des points M du plan tels que \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0 est bien le cercle de centre I et de rayon \dfrac{1}{2}AB.

Autrement dit, l'ensemble des points M du plan tels que \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0 est le cercle de diamètre [AB].

Sur la figure ci-dessous, on a deux points A et B.

L'ensemble des points M du plan tels que \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0 est le cercle de diamètre [AB].

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On retrouve ainsi que si le triangle MAB est rectangle en M, alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse.