Calcul vectoriel et produit scalaireCours

Dans tout le présent chapitre, on considère le plan muni d'un repère orthonormé \left(O;\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath}\right).

I

Produit scalaire de deux vecteurs dans le plan

Produit scalaire

Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs non nuls, et A, B, C trois points du plan tels que \overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB} et \overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}.

  • On appelle produit scalaire de \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} le nombre réel, noté \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}, défini par
    \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}= \left\Vert \overrightarrow{AB} \right\Vert \times\left\Vert \overrightarrow{AC} \right\Vert \times \cos\left( \widehat{BAC}\right)=AB\times AC\times \cos\left( \widehat{BAC}\right).
  • Si l'un, au moins, des deux vecteurs est nul, alors, par convention, \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=0.

Le triangle ABC ci-dessous est un triangle équilatéral de côté 5 cm.

On a :

\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=5\times 5\times \cos\left( 60^\circ\right)

\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=5\times 5\times \dfrac{1}{2}

\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=12,5

-

Soient A, B, C et D quatre points du plan (avec A\neq B et C\neq D), et A', B' les projetés orthogonaux des points A et B sur la droite (CD).

Alors : \overrightarrow{AB}\cdot~\overrightarrow{CD}=\begin{cases}A'B'\times CD \text{ si }\overrightarrow{A'B'}\text{ et }\overrightarrow{CD}\text{ sont de même sens}\\-A'B'\times CD \text{ si }\overrightarrow{A'B'}\text{ et }\overrightarrow{CD}\text{ sont de sens contraires}\end{cases}

Le projeté orthogonal d'un point sur une droite est vu en classe de seconde. Reporte-toi au chapitre correspondant.

Sur la figure ci-dessous, l'unité du quadrillage est l'unité graphique du repère.

On y trouve quatre points A, B, C et D.

Les points A' et B' sont les projetés orthogonaux des points A et B sur la droite (CD).

Alors :

\overrightarrow{AB}\cdot~\overrightarrow{CD}=A'B'\times CD, car \overrightarrow{A'B'} et \overrightarrow{CD} sont de même sens.

On obtient donc :

\overrightarrow{AB}\cdot~\overrightarrow{CD}=2\times 4

\overrightarrow{AB}\cdot~\overrightarrow{CD}=8

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II

Quelques propriétés du produit scalaire

Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs non nuls du plan. Alors, \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux si, et seulement si, \overrightarrow{u}\cdot~\overrightarrow{v}=0.

Sur la figure ci-contre l'unité du quadrillage est l'unité graphique du repère.

On y trouve quatre points A, B, C et D tels que les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} sont orthogonaux.

Le point A' est à la fois le projeté orthogonal du point A et celui du point B sur la droite (CD).

Alors, \overrightarrow{AB}\cdot~\overrightarrow{CD}=A'A'\times CD.

On obtient donc :

\overrightarrow{AB}\cdot~\overrightarrow{CD}=0\times 4

\overrightarrow{AB}\cdot~\overrightarrow{CD}=0

-

Soit \overrightarrow{u} un vecteur du plan. Alors,  \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u}= \left\Vert u \right\Vert^2.

Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs du plan. Alors :

  • \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\dfrac{1}{2}\left( \left\| \overrightarrow{u}\right\|^2+\left\| \overrightarrow{v} \right\|^2-\left\| \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v} \right\|^2\right)  
  • \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\dfrac{1}{2}\left( \left\| \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right\|^2-\left\| \overrightarrow{u}\right\Vert^2-\left\Vert \overrightarrow{v}\right\|^2\right)
  • \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\dfrac{1}{4}\left( \left\Vert \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right\Vert^2-\left\Vert \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\right\Vert^2\right)

On en déduit par exemple que deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux si, et seulement si,  \left\| \overrightarrow{u}\right\|^2+\left\| \overrightarrow{v}\right\|^2=\left\| \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right\|^2, ce qui rappelle évidemment le théorème de Pythagore.

En écrivant la deuxième identité sous la forme  \left\Vert \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right\Vert^2=\left\Vert \overrightarrow{u}\right\Vert^2+2× \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}+=\left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert^2, on obtient une identité très proche de l'identité remarquable de seconde. Cela peut servir de moyen mnémotechnique.

Soient \overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} deux vecteurs du plan. Alors, \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=xx'+yy'.

Ainsi, si \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont deux vecteurs du plan de coordonnées respectives \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} et \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}, alors \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux si, et seulement si, xx'+yy'=0.

Sur la figure ci-contre, on trouve quatre points A, B, C et D dans un repère orthonormé \left(O;\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath}\right).

Le vecteur \overrightarrow{AB} a pour coordonnées \begin{pmatrix} 2\\2 \end{pmatrix} et le vecteur \overrightarrow{CD} a pour coordonnées \begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}.

On obtient donc :

\overrightarrow{AB}\cdot~\overrightarrow{CD}=2\times 4+2\times 0

\overrightarrow{AB}\cdot~\overrightarrow{CD}=8

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On retrouve bien le résultat de l'exemple lié à la deuxième formule.

Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs du plan. Alors, \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{u}

On dit que le produit scalaire est symétrique ou commutatif.

Soient \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} trois vecteurs du plan et soit \lambda un nombre réel quelconque. Alors :

  • \overrightarrow{u}\cdot\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right)=\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{w} (distributivité à gauche)
  • \left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)\cdot\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{w}+\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{w} (distributivité à droite)
  • \left( \lambda\overrightarrow{u}\right)\cdot\overrightarrow{v}=\lambda\left( \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}\right)
  • \overrightarrow{u}\cdot\left( \lambda\overrightarrow{v}\right)=\lambda\left( \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}\right)
III

Quelques applications du produit scalaire

Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs du plan. Alors,  \left\Vert \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right\Vert^2=\left\Vert \overrightarrow{u}\right\Vert^2+2\left( \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}\right)+\left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert^2.

Les propriétés précédentes donnent :

  • \left\Vert \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right\Vert^2=\left( \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)\cdot\left( \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)
  • \left\Vert \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right\Vert^2=\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}+\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{v}
  • \left\Vert \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right\Vert^2=\left\Vert \overrightarrow{u}\right\Vert^2+\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}+\left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert^2
  • \left\Vert\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} \right\Vert^2=\left\Vert \overrightarrow{u}\right\Vert^2+2\left( \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}\right)+\left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert^2
  • \left\Vert\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} \right\Vert^2=\left\Vert \overrightarrow{u}\right\Vert^2+2\left( \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}\right)+\left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert^2

Soit ABC un triangle quelconque. Avec les notations de la figure, on a :

a^2=b^2+c^2−2bc\times \cos\left( \widehat{BAC}\right)

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Avec les notations de l'énoncé et de la figure, on a :

a^2=BC^2

a^2=\left\Vert \overrightarrow{BC}\right\Vert^2

a^2=\left\Vert \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right\Vert^2

a^2=\left\Vert \overrightarrow{BA}\right\Vert^2+2\left( \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{AC}\right)+\left\Vert \overrightarrow{AC}\right\Vert^2

a^2=BA^2−2\times \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}+AC^2

a^2=c^2−2\times \left\Vert \overrightarrow{AB}\right\Vert\times \left\Vert\overrightarrow{AC} \right\Vert\times \cos\left( \widehat{BAC}\right)+b^2

a^2=b^2+c^2−2bc\times \cos\left( \widehat{BAC}\right)

On a également, avec les mêmes notations :

  • b^2=a^2+c^2−2ac\times \cos\left( \widehat{ABC}\right)
  • c^2=a^2+b^2−2ab\times \cos\left( \widehat{ACB}\right)

On appelle parfois cette propriété le théorème de Pythagore généralisé ou formule d'Al-Kashi.

Avec les données de l'énoncé, on obtient :

BC^2=AB^2+AC^2−2\times AB\times AC\times \cos\left( \widehat{BAC}\right)

BC^2=8^2+3^2−2\times 8\times 3\times \cos\left(30^\circ\right)

BC^2=64+9−48\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}

BC^2=73−24\sqrt{3}

Comme BC\geq 0, on obtient :

BC=\sqrt{73−24\sqrt{3}}

BC\approx 5,61

-

Soient A et B des points du plan. Notons I le milieu du segment [AB].

Alors, pour tout point M du plan, on a \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=MI^2-\dfrac{1}{4}AB^2.

Avec les notations de l'énoncé, on a :

\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)\cdot\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)

\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=MI^2+\overrightarrow{MI}\cdot\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}\cdot\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\cdot\overrightarrow{IB}

\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=MI^2+\overrightarrow{MI}\cdot\left( \overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}\right)+\overrightarrow{IA}\cdot\overrightarrow{IB}

Comme I est le milieu du segment [AB], on obtient :

\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{0} et \overrightarrow{IA}\cdot~\overrightarrow{IB}=-\dfrac{1}{4}AB^2

On en déduit finalement :

\overrightarrow{MA}\cdot~\overrightarrow{MB}=MI^2-\dfrac{1}{4}AB^2

On peut obtenir des formules analogues pour MA^2+MB^2 ou MA^2-MB^2.

Soient A et B des points du plan. Notons I le milieu du segment [AB].

L'ensemble des points M du plan tels que \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0 est le cercle de centre I et de rayon \dfrac{1}{2}AB.

Soient A, B et M des points du plan.

Notons I le milieu du segment [AB].

D'après le théorème précédent, on a :

\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\Leftrightarrow MI^2-\dfrac{1}{4}AB^2=0

\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\Leftrightarrow MI^2=\dfrac{1}{4}AB^2

Comme MI\geq 0 et AB\geq 0, on obtient :

\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\Leftrightarrow MI=\dfrac{1}{2}AB

L'ensemble des points M du plan tels que \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0 est bien le cercle de centre I et de rayon \dfrac{1}{2}AB.

Autrement dit, l'ensemble des points M du plan tels que \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0 est le cercle de diamètre [AB].

Sur la figure ci-dessous, on a deux points A et B.

L'ensemble des points M du plan tels que \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0 est le cercle de diamètre [AB].

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On retrouve ainsi que si le triangle MAB est rectangle en M, alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse.