Déterminer la longueur d'un troisième côté dans un triangle quelconque Méthode

Sommaire

1Énoncer la formule d'Al-Kashi 2Repérer les mesures nécessaires 3Appliquer la formule

Lorsque, dans un triangle quelconque, on connaît les longueurs a et b de deux côtés ainsi que l'angle adjacent à ces deux côtés, on peut calculer la longueur c du troisième côté en utilisant le théorème d'Al-Kashi.

On considère le triangle ABC suivant tel que b = 2, c=4 et \widehat{A}= \dfrac{\pi}{4}.

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Calculer la longueur du côté a.

Etape 1

Énoncer la formule d'Al-Kashi

D'après le cours, pour tout triangle avec les notations ci-dessous, on sait que :

  • a^2 = b^2+c^2-2bc \times cos\widehat{A}
  • b^2 = a^2+c^2-2ac \times cos\widehat{B}
  • c^2 = a^2+b^2-2ab \times cos\widehat{C}
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On énonce la formule nécessaire.

D'après le cours, on sait que :

a^2 = b^2+c^2-2bc \times cos\widehat{A}

Etape 2

Repérer les mesures nécessaires

On identifie les mesures des deux côtés ainsi que de l'angle qui sont connus.

Trois cas sont possibles :

  • L'énoncé donne les mesures de a, b et \widehat{C} et on cherche c.
  • L'énoncé donne les mesures de a, c et \widehat{B} et on cherche b.
  • L'énoncé donne les mesures de b, c et \widehat{A} et on cherche a.

Ici, on a :

  • b=2
  • c=4
  • \widehat{A} = \dfrac{\pi}{4}
Etape 3

Appliquer la formule

On remplace les mesures des deux côtés et de l'angle connus dans la formule afin de trouver la valeur de la troisième mesure.

On en déduit que :

a^2 = 2^2+4^2-2\times 2 \times 4 \times \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)

a^2 =4+16-16\times \dfrac{\sqrt2}{2}

Soit :

a^2 =20-8\times \sqrt2

a =\sqrt{20-8\times \sqrt2}

Finalement :

a \approx 2,95