On considère une fonction f dont le tableau de variations est le suivant :
Soient a, b et c trois réels. On sait que f est définie sur \mathbb{R}- \left\{ -2 \right\} par :
f\left(x\right) = ax+b+\dfrac{c}{x+2}
Quelle est l'expression de f' la dérivée de f en fonction de a, b et c ?
La fonction f est dérivable sur \mathbb{R}-\left\{ -2 \right\} en tant que somme et quotient dont le dénominateur ne s'annule pas sur \mathbb{R}-\left\{ -2 \right\} de fonctions dérivables sur \mathbb{R}-\left\{ -2 \right\}.
On sait que :
\left(\dfrac{1}{u}\right)'=\dfrac{-u'}{u^2}.
Ici, on pose u\left(x\right)=x+2 et on a u'\left(x\right)=1
On obtient donc :
\forall x \in \mathbb{R}-\left\{ -2 \right\}, f'\left(x\right) = a - \dfrac{c}{\left(x+2\right)^2}
D'après les informations présentes dans le tableau de variations de f, quelles sont les valeurs des réels a, b et c ?
On peut calculer les valeurs respectives des réels a, b et c en déterminant un système dont les inconnues sont a, b et c. Pour cela on exprime f\left(-5\right), f\left(1\right) et f'\left(-1\right) en fonction des réels a, b et c.
\begin{cases} f\left(-5\right) = -5 \cr \cr f\left(1\right) = 7 \cr \cr f'\left(1\right)=0 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} -5a+b-\dfrac{c}{3} = -5 \cr \cr a+b+ \dfrac{c}{3} = 7 \cr \cr a-\dfrac{c}{9} = 0 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} -5a+b-\dfrac{c}{3} = -5 \cr \cr a+b+ \dfrac{c}{3} = 7 \cr \cr 9a = c \end{cases}
En remplaçant c par a dans les deux premières équations on obtient :
\begin{cases} -5a+b-\dfrac{9a}{3} = -5 \cr \cr a+b+ \dfrac{9a}{3} = 7 \cr \cr 9a = c \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} -8a+b = -5 \cr \cr 4a+b = 7 \cr \cr 9a = c \end{cases}
Par soustraction membre à membre de la première et la deuxième équation on obtient :
\begin{cases} -8a+b = -5 \cr \cr -12a= -12 \cr \cr 9a = c \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} -8+b = -5 \cr \cr a= 1 \cr \cr 9 = c \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} b = 3 \cr \cr a= 1 \cr \cr c = 9 \end{cases}
Finalement, \forall x \in \mathbb{R}- \left\{ -2 \right\}, f\left(x\right) = x+3 +\dfrac{9}{x+2}