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Dernière modification : 25/06/2024 - Conforme au programme 2024-2025
Il est possible de transformer une expression à l'aide des propriétés algébriques de la fonction logarithme.
Soit la fonction f définie pour tout x de \left] 2;+\infty\right[ par :
f\left(x\right)=\ln\left(\left(x+2\right)^2\right)+2\ln\left(x-2\right)
Grâce aux propriétés algébriques de la fonction logarithme, simplifier l'expression de f.
Identifier les propriétés algébriques à utiliser
On identifie les propriétés algébriques du logarithme à utiliser.
On remarque que l'expression de f comporte une puissance et une addition de deux logarithmes.
On en déduit que l'on utilise les propriétés algébriques suivantes :
- Pour tout réel a\gt0 et tout entier relatif n, \ln \left(a^n\right) = n \ln\left(a\right)
- Pour tous réels strictement positifs a et b, \ln\left(a\right) +\ln \left(b\right) = \ln \left(a\times b\right)
Simplifier l'expression
On utilise les propriétés algébriques identifiées afin de simplifier l'expression.
Soit x un réel de \left] 2;+\infty\right[ :
f\left(x\right)=\ln\left(\left(x+2\right)^2\right)+2\ln\left(x-2\right)
f\left(x\right)=2\ln\left(x+2\right)+2\ln\left(x-2\right)
f\left(x\right)=2\left(\ln\left(x+2\right)+\ln\left(x-2\right)\right)
f\left(x\right)=2\ln\left(\left(x+2\right)\left(x-2\right)\right)
On peut donc conclure :
f\left(x\right)=2\ln\left(x^2-4\right)