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Utiliser les propriétés algébriques de la fonction logarithme pour transformer une expression

Il est possible de transformer une expression à l'aide des propriétés algébriques de la fonction logarithme.

Soit la fonction f définie pour tout x de \(\displaystyle{\left] 2;+\infty\right[}\) par :

\(\displaystyle{f\left(x\right)=\ln\left(\left(x+2\right)^2\right)+2\ln\left(x-2\right)}\)

Grâce aux propriétés algébriques de la fonction logarithme, simplifier l'expression de f.
Etape 1

Identifier les propriétés algébriques à utiliser

On identifie les propriétés algébriques du logarithme à utiliser.

On remarque que l'expression de f comporte une puissance et une addition de deux logarithmes.

On en déduit que l'on utilise les propriétés algébriques suivantes :

  • Pour tout réel \(\displaystyle{a\gt0}\) et tout entier relatif n, \(\displaystyle{\ln \left(a^n\right) = n \ln\left(a\right)}\)
  • Pour tous réels strictement positifs a et b, \(\displaystyle{\ln\left(a\right) +\ln \left(b\right) = \ln \left(a\times b\right)}\)
Etape 2

Simplifier l'expression

On utilise les propriétés algébriques identifiées afin de simplifier l'expression.

Soit x un réel de \(\displaystyle{\left] 2;+\infty\right[}\) :

\(\displaystyle{f\left(x\right)=\ln\left(\left(x+2\right)^2\right)+2\ln\left(x-2\right)}\)

\(\displaystyle{f\left(x\right)=2\ln\left(x+2\right)+2\ln\left(x-2\right)}\)

\(\displaystyle{ f\left(x\right)=2\left(\ln\left(x+2\right)+\ln\left(x-2\right)\right)}\)

\(\displaystyle{f\left(x\right)=2\ln\left(\left(x+2\right)\left(x-2\right)\right)}\)

On peut donc conclure :

\(\displaystyle{ f\left(x\right)=2\ln\left(x^2-4\right)}\)

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