Terminale S 2015-2016
Kartable
Terminale S 2015-2016

Utiliser les propriétés algébriques de la fonction logarithme pour transformer une expression

Il est possible de transformer une expression à l'aide des propriétés algébriques de la fonction logarithme.

Soit la fonction f définie pour tout x de ]2;+[ par :

f(x)=ln((x+2)2)+2ln(x2)

Grâce aux propriétés algébriques de la fonction logarithme, simplifier l'expression de f.

Etape 1

Identifier les propriétés algébriques à utiliser

On identifie les propriétés algébriques du logarithme à utiliser.

On remarque que l'expression de f comporte une puissance et une addition de deux logarithmes.

On en déduit que l'on utilise les propriétés algébriques suivantes :

  • Pour tout réel a>0 et tout entier relatif n, ln(an)=nln(a)
  • Pour tous réels strictement positifs a et b, ln(a)+ln(b)=ln(a×b)
Etape 2

Simplifier l'expression

On utilise les propriétés algébriques identifiées afin de simplifier l'expression.

Soit x un réel de ]2;+[ :

f(x)=ln((x+2)2)+2ln(x2)

f(x)=2ln(x+2)+2ln(x2)

f(x)=2(ln(x+2)+ln(x2))

f(x)=2ln((x+2)(x2))

On peut donc conclure :

f(x)=2ln(x24)

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