Première S 2016-2017

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Déterminer les coordonnées d'un vecteur

À l'aide des coordonnées de deux points A et B, on sait déterminer les coordonnées du vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\).

On considère le plan muni d'un repère \(\displaystyle{\left(O;I;J\right)}\). Soient les points \(\displaystyle{A\left(7; -2\right)}\) et \(\displaystyle{B\left(-1 ; -3\right)}\). Déterminer les coordonnées du vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\).

Etape 1

Réciter le cours

On rappelle que si \(\displaystyle{A \left(x_A; y_A\right)}\) et \(\displaystyle{B\left(x_B; y_B\right)}\), alors le vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\) a pour coordonnées \(\displaystyle{\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)}\).

Si \(\displaystyle{A \left(x_A; y_A\right)}\) et \(\displaystyle{B\left(x_B; y_B\right)}\), alors \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\) a pour coordonnées \(\displaystyle{\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)}\).

Etape 2

Rappeler les coordonnées des deux points

On rappelle les coordonnées des deux points A et B.

On sait que :

  • \(\displaystyle{A\left(7; -2\right)}\)
  • \(\displaystyle{B\left(-1 ; -3\right)}\)
Etape 3

Appliquer la formule et conclure

On calcule les coordonnées du vecteur.

On en déduit que :

\(\displaystyle{\overrightarrow{AB} \left(x_B-x_A ; y_B-y_A \right)}\)

Soit :

\(\displaystyle{\overrightarrow{AB} \left(-1-7 ; -3-\left(-2\right) \right)}\)

Finalement :

\(\displaystyle{\overrightarrow{AB} \left(-8 ; -1 \right)}\)

Les coordonnées d'un vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) peuvent s'écrire en ligne \(\displaystyle{\left(x ; y \right)}\) ou en colonne \(\displaystyle{\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix}}\).