Première S 2016-2017
Kartable
Première S 2016-2017

Montrer que deux vecteurs sont colinéaires

Méthode 1

Avec les coordonnées

On peut montrer que deux vecteurs sont colinéaires en utilisant leurs coordonnées. La colinéarité de deux vecteurs permet de démontrer que trois points sont alignés ou que deux droites sont parallèles.

Soit un repère (O;I,J). On considère les points A(1;2) ; B(3;1) et C(3;8). Montrer que AB et AC sont colinéaires.

Etape 1

Calculer les coordonnées de chaque vecteur

On calcule les coordonnées des deux vecteurs.

On détermine les coordonnées de AB et AC :

  • ABxBxAyByA, d'où AB3112, donc AB23
  • ACxCxAyCyA, d'où AC3182, donc AC46
Etape 2

Appliquer la formule

On rappelle que deux vecteurs uxy et vxy sont colinéaires si et seulement si xyxy=0.

On détermine si cette égalité est vérifiée.

Deux vecteurs uxy et vxy sont colinéaires si et seulement si xyxy=0.

Ici, on a :

2×6(4)×(3)=1212=0

Etape 3

Conclure

On conclut sur la colinéarité des deux vecteurs.

On en déduit que les vecteurs AB et AC sont colinéaires.

Méthode 2

Avec une égalité vectorielle

On peut montrer que deux vecteurs u et v sont colinéaires en démontrant que u=kv.

Soit un triangle ABC et deux points D et E tels que AD=3AB et DE=3BC.

Montrer que AC et AE sont colinéaires.

Etape 1

Rappeler le cours

On rappelle que deux vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel k tel que u=kv.

Afin de montrer que AC et AE sont colinéaires, on doit montrer qu'il existe un réel k tel que AE=kAC.

Etape 2

Exprimer u en fonction de v

On utilise les informations de l'énoncé afin d'obtenir une égalité de type u=kv.

Il est souvent nécessaire d'utiliser la relation de Chasles.

D'après la relation de Chasles :

AE=AD+DE

Or, d'après l'énoncé :

  • AD=3AB
  • DE=3BC

Donc :

AE=3AB+3BC

AE=3(AB+BC)

Et, encore d'après la relation de Chasles :

AE=3AC

Etape 3

Conclure

On conclut sur la colinéarité des deux vecteurs.

Les vecteurs AE et AC sont donc colinéaires.

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