Calculer un angle grâce à un produit scalaire Exercice

Graphiquement, on détermine les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} :

\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 4 \cr\cr 4 \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 7 \cr\cr 0 \end{pmatrix}

Or, d'après le cours on sait que :

\left\| \overrightarrow{u} \right\|= \sqrt{x_{\overrightarrow{u}}^2+y_{\overrightarrow{u}}^2}

On en déduit que :

• \left\| \overrightarrow{u} \right\| = \sqrt{4^2+4^2} = \sqrt{32}=4\sqrt2
• \left\| \overrightarrow{v} \right\|= \sqrt{7^2+0^2} = \sqrt{49}=7

D'après le cours, on sait que, pour tous vecteurs \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix} et \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix} :

\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} =xx' +yy'

Ici, on a :

\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 4 \cr\cr 4 \end{pmatrix} et \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} 7 \cr\cr 0 \end{pmatrix}

On en déduit que :

\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 4\times 7+4\times 0 = 28

D'après le cours, on sait que :

\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left\| \overrightarrow{u} \right\| \times \left\| \overrightarrow{v} \right\|\times \cos \left(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}\right)

On en déduit que :

\cos \left(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}\right)= \dfrac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{\left\| \overrightarrow{u} \right\| \times \left\| \overrightarrow{v} \right\| }

Or, d'après les questions précédentes :

• \left\| \overrightarrow{u} \right\| \times \left\| \overrightarrow{v} \right\| = 4\sqrt 2 \times 7 = 28\sqrt2
• \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 28

Donc :

\cos \left(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}\right)= \dfrac{28}{28\sqrt2} =\dfrac{\sqrt2}{2}

Or on sait que :

\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}

L'angle \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right) n'étant pas dans le sens direct, on peut conclure :