Calculer un angle grâce à un produit scalaire Exercice

Graphiquement, on détermine les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} :

\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 4 \cr\cr 2 \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 4 \end{pmatrix}

Or, d'après le cours on sait que :

\left\| \overrightarrow{u} \right\|= \sqrt{x_{\overrightarrow{u}}^2+y_{\overrightarrow{u}}^2}

On en déduit que :

• \left\| \overrightarrow{u} \right\|= \sqrt{4^2+2^2} = \sqrt{20}=2\sqrt5
• \left\| \overrightarrow{v} \right\|= \sqrt{0^2+4^2} = \sqrt{16}=4

D'après le cours, on sait que, pour tous vecteurs \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix} et \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix} :

\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} =xx' +yy'

Ici, on a :

\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 4 \cr\cr 2 \end{pmatrix} et \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} 0 \cr\cr 4\end{pmatrix}

On en déduit que :

\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 4\times 0+2\times 4 = 8

D'après le cours, on sait que :

\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left\| \overrightarrow{u} \right\|\times\left\| \overrightarrow{v} \right\|\times \cos \left(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}\right)

On en déduit que :

\cos \left(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}\right)= \dfrac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{\left\| \overrightarrow{u} \right\|\times\left\| \overrightarrow{v}\right\|}

Or, d'après les questions précédentes :

• \left\| \overrightarrow{u} \right\|\times\left\| \overrightarrow{v} \right\|= 2\sqrt5 \times 4 = 8\sqrt5
• \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 8

Donc :

\cos \left(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}\right)= \dfrac{8}{8\sqrt5} =\dfrac{\sqrt5}{5}

Grâce à la calculatrice et sa touche cos^{-1}, on obtient :

\cos \left(63{,}4^\circ\right)\approx\dfrac{\sqrt{5}}{5}

Comme de plus l'angle \left(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}\right) est dans le sens direct, on peut conclure :