On considère le carré ABCD suivant de côté 6, I le milieu de \left[ CD\right] et H le milieu de \left[ AB\right].
Quelle est la valeur de la longueur AI ?
Le triangle AID est rectangle en D.
Donc, d'après le théorème de Pythagore :
AI^2=AD^2+ID^2
Or AD = 6 et, comme I est le milieu de \left[ DC \right] :
ID = 3
On en déduit que :
AI^2 = 6^2+3^2 =45
Donc :
AI = \sqrt {45}
On peut conclure :
AI= 3\sqrt 5
Quelle est la valeur du produit scalaire \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AI} ?
H, milieu de \left[ AB \right], est le projeté orthogonal de I sur \left(AB\right).
On en déduit que :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}
Comme \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AH} sont colinéaires et de même sens, on trouve que :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AI} = AB.AH = 6\times 3=18
On peut conclure :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AI} =18
Parmi les propositions suivantes, laquelle correspond à une mesure de l'angle \left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AI}\right) ?
D'après le cours, on sait que :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AI}= AB \times AI \times \cos \left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AI}\right)
On en déduit que :
\cos \left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AI}\right)= \dfrac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AI}}{AB\times AI}
Or, d'après les questions précédentes :
- AB \times AI = 18\sqrt 5
- \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AI} = 18
Donc :
\cos \left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AI}\right)= \dfrac{18}{18\sqrt5} =\dfrac{\sqrt5}{5}
Grâce à la calculatrice et sa touche cos^{-1}, on obtient :
\cos \left(63{,}4^\circ\right)\approx\dfrac{\sqrt5}{5}
Comme de plus l'angle \left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AI}\right) n'est pas dans le sens direct, on peut conclure :
Une mesure de l'angle étudié est \left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AI}\right) \approx -63°