Le produit scalaire Formulaire

Dans tout le document, on se place dans un repère orthonormé \left(O;\overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right).

Produit scalaire et angle

Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs non nuls.
On appelle produit scalaire des vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v}, noté \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}, le réel :

\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =\|\overrightarrow{u}\| \times \|\overrightarrow{v}\| \times \cos \left(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\right)

Produit scalaire et projeté orthogonal

Cas 1

Si H \in \left[AB\right)

\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AH

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Cas 2

Si H \notin \left[AB\right)

\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = - AB \times AH

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Formule analytique du produit scalaire

Le produit scalaire des vecteurs \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \cr y \end{pmatrix} et \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x' \cr y' \end{pmatrix} est égal à :

\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = xx' + yy'

Produit scalaire et normes

Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs :

\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\dfrac{1}{2}\left(\|\overrightarrow{u}\|^{2} + \|\overrightarrow{v}\|^{2} -\|\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}\|^{2}\right)

ou :

\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\dfrac{1}{2}\left(\|\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\|^{2} - \|\overrightarrow{u}\|^{2} - \|\overrightarrow{v}\|^{2}\right)

Théorème de la médiane

Soient A et B deux points distincts fixés et I le milieu du segment [AB].

Pour tout point M du plan, on a :

MA^2+MB^2=2MI^2+\dfrac{AB^2}{2}

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Théorème d'Al-Kashi

Dans tout triangle ABC, avec les notations de la figure ci-dessous :

  • a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat{A}
  • b^2=c^2+a^2-2ca\cos\widehat{B}
  • c^2=a^2+b^2-2ab\cos\widehat{C}
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