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Dernière modification : 24/10/2018 - Conforme au programme 2018-2019
Dans tout le document, on se place dans un repère orthonormé \left(O;\overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right).
Produit scalaire et angle
Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs non nuls.
On appelle produit scalaire des vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v}, noté \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}, le réel :
\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =\|\overrightarrow{u}\| \times \|\overrightarrow{v}\| \times \cos \left(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\right)
Produit scalaire et projeté orthogonal
Si H \in \left[AB\right)
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AH
Si H \notin \left[AB\right)
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = - AB \times AH
Formule analytique du produit scalaire
Le produit scalaire des vecteurs \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \cr y \end{pmatrix} et \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x' \cr y' \end{pmatrix} est égal à :
\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = xx' + yy'
Produit scalaire et normes
Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs :
\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\dfrac{1}{2}\left(\|\overrightarrow{u}\|^{2} + \|\overrightarrow{v}\|^{2} -\|\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}\|^{2}\right)
ou :
\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\dfrac{1}{2}\left(\|\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\|^{2} - \|\overrightarrow{u}\|^{2} - \|\overrightarrow{v}\|^{2}\right)
Théorème de la médiane
Soient A et B deux points distincts fixés et I le milieu du segment [AB].
Pour tout point M du plan, on a :
MA^2+MB^2=2MI^2+\dfrac{AB^2}{2}
Théorème d'Al-Kashi
Dans tout triangle ABC, avec les notations de la figure ci-dessous :
- a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat{A}
- b^2=c^2+a^2-2ca\cos\widehat{B}
- c^2=a^2+b^2-2ab\cos\widehat{C}
