Dans tout le document, on se place dans un repère orthonormé \left(O;\overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right).
Produit scalaire et angle
Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs non nuls.
On appelle produit scalaire des vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v}, noté \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}, le réel :
\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =\|\overrightarrow{u}\| \times \|\overrightarrow{v}\| \times \cos \left(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\right)
Formule analytique du produit scalaire
Le produit scalaire des vecteurs \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \cr y \end{pmatrix} et \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x' \cr y' \end{pmatrix} est égal à :
\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = xx' + yy'
Produit scalaire et normes
Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs :
\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\dfrac{1}{2}\left(\|\overrightarrow{u}\|^{2} + \|\overrightarrow{v}\|^{2} -\|\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}\|^{2}\right)
ou :
\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\dfrac{1}{2}\left(\|\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\|^{2} - \|\overrightarrow{u}\|^{2} - \|\overrightarrow{v}\|^{2}\right)