Le produit scalaire Quiz

Que vaut le produit scalaire \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}}\) en fonction de l'angle \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\right)}\) ?

Que vaut le carré scalaire d'un vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) ?

A quelle condition sur leur produit scalaire, deux vecteurs sont-ils orthogonaux ?

Que vaut le produit scalaire \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}\) si les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{AC}}\) sont colinéaires de sens contraire ?

Soient A, B et C trois points distincts du plan, et H le projeté orthogonal de C sur (AB). Que vaut \(\displaystyle{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}\) si \(\displaystyle{H \in \left[AB\right)}\) ?

Que vaut le produit scalaire de deux vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) \(\displaystyle{\begin{pmatrix} x \cr y \end{pmatrix}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}}\) \(\displaystyle{\begin{pmatrix} x' \cr y' \end{pmatrix}}\) ?

Quelle est la proposition vraie parmi les quatre suivantes ?

\(\displaystyle{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\dfrac{1}{2}\left(\|\overrightarrow{u}\|^{2} + \|\overrightarrow{v}\|^{2} -\|\overrightarrow{u} +\overrightarrow{v}\|^{2}\right)}\)

\(\displaystyle{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\dfrac{1}{2}\left(\|\overrightarrow{u}\|^{2} - \|\overrightarrow{v}\|^{2} -\|\overrightarrow{u} -\overrightarrow{v}\|^{2}\right)}\)

\(\displaystyle{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\dfrac{1}{2}\left(\|\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}\|^{2} - \|\overrightarrow{u}\|^{2} - \|\overrightarrow{v}\|^{2}\right)}\)

\(\displaystyle{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\dfrac{1}{2}\left(\|\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\|^{2} - \|\overrightarrow{u}\|^{2} - \|\overrightarrow{v}\|^{2}\right)}\)

Dans un repère orthonormal, à quelle condition deux vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) \(\displaystyle{\begin{pmatrix} x \cr y \end{pmatrix}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}}\) \(\displaystyle{\begin{pmatrix} x' \cr y' \end{pmatrix}}\) sont-ils orthogonaux ?

Soient une droite (d) et un vecteur non nul \(\displaystyle{\overrightarrow{n}}\) du plan. A quelle condition le vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{n}}\) est-il normal à la droite (d) ?

Soit une droite \(\displaystyle{D}\) d'équation cartésienne \(\displaystyle{ax + by + c = 0}\). Quelles sont les coordonnées d'un vecteur normal à \(\displaystyle{D}\) ?

Quelle est l'équation type du cercle de centre \(\displaystyle{K\left(x_K;y_K\right)}\) de rayon \(\displaystyle{R}\) ?

Comment caractériser à l'aide du produit scalaire les points \(\displaystyle{M\left(x;y\right)}\) d'un cercle de diamètre [AB] ?

Soient A et B deux points distincts fixés et I le milieu du segment [AB]. Quel est l'énoncé du théorème de la médiane ?

Soit ABC un triangle avec \(\displaystyle{BC=a}\), \(\displaystyle{AC=b}\) et \(\displaystyle{AB=c}\). Quelle est la réponse vraie parmi les 4 suivantes ?

\(\displaystyle{a^2=b^2-c^2+2bc\cos\widehat{A}}\)

\(\displaystyle{a^2=b^2+a^2-2bc\cos\widehat{A}}\)

\(\displaystyle{b^2=a^2+c^2-2bc\cos\widehat{A}}\)

\(\displaystyle{b^2=a^2+c^2-2ac\cos\widehat{B}}\)