On considère l'équation suivante :
x^2+y^2+16x-12y+51= 0
S'agit-il de l'équation d'un cercle et, si c'est le cas, quels sont le rayon R et les coordonnées du centre K du cercle ?
Cette équation est celle d'un cercle si et seulement si elle peut s'écrire sous la forme :
\left(x-a\right)^2 +\left(y-b\right)^2 = R^2
R est alors le rayon du cercle et \left( a,b \right) les coordonnés du centre du cercle.
Pour mettre cette équation sous la forme voulue, il est nécessaire de reconnaître une identité remarquable de type \left(x-a\right)^2 et une identité remarquable de type \left(y-b\right)^2.
On regroupe donc les termes en x et les termes en y, l'équation devient :
x^2+y^2+16x-12y+51= 0
Or on sait que :
- \left(a-b\right)^2 = a^2-2ab+b^2
- \left(a+b\right)^2 = a^2+2ab+b^2
Ici, on fait donc apparaître deux identités remarquables :
- x^2+16x=x^2+2\times 8x+64-64=\left(x+8\right)^2-64
- y^2-12x=y=y^2-2\times6y+36-36=\left(y-6\right)^2-36
L'équation devient donc :
\left(x+8\right)^2-64 +\left(y-6\right)^2-36+51= 0
Soit :
\left(x+8\right)^2 +\left(y-6\right)^2 = 49
Cette équation est bien de la forme \left(x-a\right)^2 +\left(y-b\right)^2 = R^2.
Avec :
- a = -8
- b = 6
- R = 7
L'équation x^2+y^2+16x-12y+51= 0 est donc celle du cercle de centre K\left( -8;6\right) et de rayon R = 7.
On considère l'équation suivante :
x^2+y^2-2x-10y +17 = 0
S'agit-il de l'équation d'un cercle et, si c'est le cas, quels sont le rayon R et les coordonnées du centre O du cercle ?
Cette équation est celle d'un cercle si et seulement si elle peut s'écrire sous la forme :
\left(x-a\right)^2 +\left(y-b\right)^2 = R^2
R est alors le rayon du cercle et \left( a,b \right) les coordonnés du centre du cercle.
Pour mettre cette équation sous la forme voulue, il est nécessaire de reconnaître une identité remarquable de type \left(x-a\right)^2 et une identité remarquable de type \left(y-b\right)^2.
On regroupe donc les termes en x et les termes en y, l'équation devient :
x^2-2x+y^2-10y +17 = 0
Or on sait que :
- \left(a-b\right)^2 = a^2-2ab+b^2
- \left(a+b\right)^2 = a^2+2ab+b^2
Ici, on fait donc apparaître deux identités remarquables :
- x^2-2x=x^2-2\times x+1-1=\left(x-1\right)^2-1
- y^2-10y=y^2-2\times5y+25-25=\left(y-5\right)^2-25
L'équation devient donc :
\left(x-1\right)^2-1 +\left(y-5\right)^2-25 +17= 0
Soit :
\left(x-1\right)^2 +\left(y-5\right)^2 = 9
Cette équation est bien de la forme \left(x-a\right)^2 +\left(y-b\right)^2 = R^2, avec :
- a = 1
- b = 5
- R = 3
L'équation x^2+y^2-2x-10y +17 = 0 est donc celle du cercle de centre K\left(1;5\right) et de rayon R = 3.
On considère l'équation suivante :
x^2+y^2-3x-2y+\dfrac{9}{4}= 0
S'agit-il de l'équation d'un cercle et, si c'est le cas, quels sont le rayon R et les coordonnées du centre K du cercle ?
Cette équation est celle d'un cercle si et seulement si elle peut s'écrire sous la forme :
\left(x-a\right)^2 +\left(y-b\right)^2 = R^2
R est alors le rayon du cercle et \left( a,b \right) les coordonnés du centre du cercle.
Pour mettre cette équation sous la forme voulue, il est nécessaire de reconnaître une identité remarquable de type \left(x-a\right)^2 et une identité remarquable de type \left(y-b\right)^2.
On regroupe donc les termes en x et les termes en y, l'équation devient :
x^2-3x+y^2-2y+\dfrac{9}{4}= 0
Or on sait que :
- \left(a-b\right)^2 = a^2-2ab+b^2
- \left(a+b\right)^2 = a^2+2ab+b^2
Ici, on fait donc apparaître deux identités remarquables :
- x^2-3x=x^2-2\times \dfrac{3}{2}x+\dfrac{9}{4}-\dfrac{9}{4}=\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{9}{4}
- y^2-2y=y^2-2\times y +1-1= \left(y-1\right)^2 -1
L'équation devient donc :
\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{9}{4}+\left(y-1\right)^2-1+\dfrac{9}{4}= 0
Soit :
\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2+\left(y-1\right)^2=1
Cette équation est bien de la forme \left(x-a\right)^2 +\left(y-b\right)^2 = R^2 avec :
- a = \dfrac{3}{2}
- b = 1
- R = 1
L'équation x^2+y^2-3x-2y+\dfrac{9}{4}= 0 est donc celle du cercle de centre K\left( \dfrac{3}{2};1\right) et de rayon R = 1.
On considère l'équation suivante :
x^2+y^2+8x-20 = 0
S'agit-il de l'équation d'un cercle et, si c'est le cas, quels sont le rayon R et les coordonnées du centre K du cercle ?
Cette équation est celle d'un cercle si et seulement si elle peut s'écrire sous la forme :
\left(x-a\right)^2 +\left(y-b\right)^2 = R^2
R est alors le rayon du cercle et \left( a,b \right) les coordonnés du centre du cercle.
Pour mettre cette équation sous la forme voulue, il est nécessaire de reconnaître une identité remarquable de type \left(x-a\right)^2 et une identité remarquable de type \left(y-b\right)^2.
On regroupe donc les termes en x et les termes en y, l'équation devient :
x^2+8x+y^2-20 = 0
Or on sait que :
- \left(a-b\right)^2 = a^2-2ab+b^2
- \left(a+b\right)^2 = a^2+2ab+b^2
Ici, on fait donc apparaître deux identités remarquables :
- x^2+8x=x^2+2\times 4x+16-16=\left(x+4\right)^2-16
- y^2=\left(y-0\right)^2
L'équation devient donc :
\left(x+4\right)^2-16 +\left(y-0\right)^2-20= 0
Soit :
\left(x+4\right)^2 +\left(y-0\right)^2= 36
Cette équation est bien de la forme \left(x-a\right)^2 +\left(y-b\right)^2 = R^2, avec :
- a = -4
- b = 0
- R = 6
L'équation x^2+y^2+8x-20 = 0 est donc celle du cercle de centre K\left( -4;0\right) et de rayon R = 6.
On considère l'équation suivante :
x^2+y^2+\dfrac{2}{3}x-\dfrac{4}{3}y+\dfrac{11}{36} = 0
S'agit-il de l'équation d'un cercle et, si c'est le cas, quels sont le rayon R et les coordonnées du centre K du cercle ?
Cette équation est celle d'un cercle si et seulement si elle peut s'écrire sous la forme :
\left(x-a\right)^2 +\left(y-b\right)^2 = R^2
R est alors le rayon du cercle et \left( a,b \right) les coordonnés du centre du cercle.
Pour mettre cette équation sous la forme voulue, il est nécessaire de reconnaître une identité remarquable de type \left(x-a\right)^2 et une identité remarquable de type \left(y-b\right)^2.
On regroupe donc les termes en x et les termes en y, l'équation devient :
x^2+\dfrac{2}{3}x+y^2-\dfrac{4}{3}y+\dfrac{11}{36} = 0
Or on sait que :
- \left(a-b\right)^2 = a^2-2ab+b^2
- \left(a+b\right)^2 = a^2+2ab+b^2
Ici, on fait donc apparaître deux identités remarquables :
- x^2+\dfrac{2}{3}x=x^2+2\times \dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{9}=\left(x+\dfrac{1}{3}\right)^2-\dfrac{1}{9}
- y^2-\dfrac{4}{3}y=y^2-2\times \dfrac{2}{3}y +\dfrac{4}{9}-\dfrac{4}{9}=\left(y-\dfrac{2}{3}\right)^2-\dfrac{4}{9}
L'équation devient donc :
\left(x+\dfrac{1}{3}\right)^2-\dfrac{1}{9}+\left(y-\dfrac{2}{3}\right)^2-\dfrac{4}{9}+\dfrac{11}{36}= 0
Soit :
\left(x+\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(y-\dfrac{2}{3}\right)^2= \dfrac{1}{4}
Cette équation est bien de la forme \left(x-a\right)^2 +\left(y-b\right)^2 = R^2, avec :
- a = -\dfrac{1}{3}
- b = \dfrac{2}{3}
- R = \dfrac{1}{2}
L'équation x^2+y^2+\dfrac{2}{3}x-\dfrac{4}{3}y+\dfrac{11}{36} = 0 est donc celle du cercle de centre K\left( -\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3}\right) et de rayon R = \dfrac{1}{2}.
On considère l'équation suivante :
x^2+y^2-6x+6y+27= 0
S'agit-il de l'équation d'un cercle et, si c'est le cas, quels sont le rayon R et les coordonnées du centre K du cercle ?
Cette équation est celle d'un cercle si et seulement si elle peut s'écrire sous la forme :
\left(x-a\right)^2 +\left(y-b\right)^2 = R^2
R est alors le rayon du cercle et \left( a,b \right) les coordonnés du centre du cercle.
Pour mettre cette équation sous la forme voulue, il est nécessaire de reconnaître une identité remarquable de type \left(x-a\right)^2 et une identité remarquable de type \left(y-b\right)^2.
On regroupe donc les termes en x et les termes en y, l'équation devient :
x^2-6x+y^2+6y+27= 0
Or on sait que :
- \left(a-b\right)^2 = a^2-2ab+b^2
- \left(a+b\right)^2 = a^2+2ab+b^2
Ici, on fait donc apparaître deux identités remarquables :
- x^2-6x=x^2-2\times 3x+9-9=\left(x-3\right)^2-9
- y^2+6y=y^2+2\times 3y+9-9 =\left(y+3\right)^2-9
L'équation devient donc :
\left(x-3\right)^2-9 +\left(y+3\right)^2-9 +27= 0
Soit :
\left(x-3\right)^2 +\left(y+3\right)^2= -9
On remarque que le membre de droite de cette équation est négatif.
Dans une équation de cercle, le membre de droite étant un carré, il ne peut être négatif.
On peut donc conclure :
L'équation x^2+y^2-9x+9y+27= 0 n'est pas une équation de cercle.
On considère l'équation suivante :
x^2+y^2-4x+6y +9 = 0
S'agit-il de l'équation d'un cercle et, si c'est le cas, quels sont le rayon R et les coordonnées du centre K du cercle ?
Cette équation est celle d'un cercle si et seulement si elle peut s'écrire sous la forme :
\left(x-a\right)^2 +\left(y-b\right)^2 = R^2
R est alors le rayon du cercle et \left( a,b \right) les coordonnés du centre du cercle.
Pour mettre cette équation sous la forme voulue, il est nécessaire de reconnaître une identité remarquable de type \left(x-a\right)^2 et une identité remarquable de type \left(y-b\right)^2.
On regroupe donc les termes en x et les termes en y, l'équation devient :
x^2-4x+y^2+6y +9 = 0
Or on sait que :
- \left(a-b\right)^2 = a^2-2ab+b^2
- \left(a+b\right)^2 = a^2+2ab+b^2
Ici, on fait donc apparaître deux identités remarquables :
- x^2-4x=x^2-2\times2x+4-4=\left(x-2\right)^2-4
- y^2+6y=y^2+2\times3y+9-9=\left(y+3\right)^2-9
L'équation devient donc :
\left(x-2\right)^2-4 +\left(y+3\right)^2-9 +9 = 0
Soit :
\left(x-2\right)^2 +\left(y+3\right)^2 = 4
Cette équation est bien de la forme \left(x-a\right)^2 +\left(y-b\right)^2 = R^2 avec :
- a = 2
- b = -3
- R = 2
L'équation x^2+y^2-4x+6y +9 = 0 est donc celle du cercle de centre K\left( 2 ; -3\right) et de rayon R = 2.