Le produit scalaireCours

On se place dans le plan muni d'un repère orthonormal \left( O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j} \right).

I

Le produit scalaire de deux vecteurs

A

Définition

Produit scalaire

Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs non nuls. On appelle produit scalaire des vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v}, noté \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}, le réel :

\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =\|\overrightarrow{u}\| \times \|\overrightarrow{v}\| \times \cos \left(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\right)

Soient les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} tels que \|\overrightarrow{u}\| = 2, \|\overrightarrow{v}\| = 3 et \left(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\right) = \dfrac{\pi }{3}.

On a :

\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =\|\overrightarrow{u}\| \times \|\overrightarrow{v}\| \times \cos \left(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\right)

\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 2 \times 3 \times \cos\left( \dfrac{\pi }{3} \right)

\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 2 \times 3 \times \dfrac12

\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 3

Si A, B et C sont trois points distincts, alors :

\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos\left(\widehat{BAC}\right)

Soit ABC un triangle tel que AB = 2, AC=3 et \widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{3}.

On a :

\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos\left(\widehat{BAC}\right)

\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 2 \times 3 \times \cos\left( \dfrac{\pi }{3} \right)

\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 2 \times 3 \times \dfrac12

\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 3

Le produit scalaire \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} a le même signe que \cos\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right).

Si au moins l'un des vecteurs est nul, alors on pose :

\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0

On a, pour tout vecteur \overrightarrow{u} :

\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} = \|\overrightarrow{u}\|^{2}

Soient deux points A et B tels que AB=12. On a :

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}=\left\| \overrightarrow{AB}\right\|^2=AB^2=12^2=144

Soient \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} trois vecteurs quelconques du plan. Soit k un réel. On a alors :

Commutativité :

\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}

Distributivité :

\overrightarrow{u} \cdot \left(\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}\right) = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}

Multiplication par un réel k :

k\left(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} \right)=\left(k \overrightarrow{u}\right) \cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}\cdot \left(k\overrightarrow{v}\right)

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

-

Le produit scalaire \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} de deux vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} colinéaires est égal à :

  • AB\times AC si \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont de même sens.
  • -AB\times AC si \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont de sens contraire.
-
B

L'expression avec le projeté orthogonal

Soient A, B et C trois points distincts du plan, et H le projeté orthogonal de C sur (AB).

Si H \in \left[AB\right) :

\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AH

-
-

ABCD et FEAG sont des rectangles avec E\in\left[AB\right], CD = 5, AD = 3, FG = 2 et AG = 5. On cherche à calculer \overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AC}.

D est le projeté orthogonal de C sur \left(AD\right).

Donc :

\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AC}=AD\times AD=3\times3=9

Si H \notin \left[AB\right) :

\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = - AB \times AH

-
-

ABCD et FEAG sont des rectangles avec E\in\left[AB\right], CD = 5, AD = 3, FG = 2 et AG = 5. On cherche à calculer \overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AF}.

G est le projeté orthogonal de F sur (AD) et G\notin\left[AD \right).

Donc :

\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AF}=-AD\times AG=-3\times5=-15

C

L'expression analytique

Expression analytique

Le produit scalaire des vecteurs \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \cr y \end{pmatrix} et \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x' \cr y' \end{pmatrix} est égal à :

\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = xx' + yy'

On considère les vecteurs \overrightarrow{AB}\binom{5}{-1} et \overrightarrow{AC}\binom{7}{-8}.

\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=5\times7+\left(-1\right)\times\left(-8\right)=35+8=43

D

L'expression avec les normes

Expressions du produit scalaire avec les normes

Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs. Les deux expressions suivantes permettent de calculer le produit scalaire \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} :

\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\dfrac{1}{2}\left(\|\overrightarrow{u}\|^{2} + \|\overrightarrow{v}\|^{2} -\|\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}\|^{2}\right)

\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\dfrac{1}{2}\left(\|\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\|^{2} - \|\overrightarrow{u}\|^{2} - \|\overrightarrow{v}\|^{2}\right)

On cherche à calculer \overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AB} à l'aide de la figure suivante :

-

ABCD est un parallélogramme.

\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AB}=\dfrac12\times\left( AD^2+AB^2-\left\| \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB} \right\|^2 \right)

Ainsi :

\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AB}=\dfrac12\times\left( 8^2+4^2-\left\| \overrightarrow{BD} \right\| ^2\right)=\dfrac12\times\left( 80-7^2 \right)=\dfrac{31}{2}

On cherche à calculer \overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AB} à l'aide de la figure suivante :

-

ABCD est un parallélogramme.

\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AB} = \dfrac12\times\left( \left\| \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB} \right\|^2 -AD^2-AB^2\right)

Ainsi :

\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AB} =\dfrac12\times\left( \left\| \overrightarrow{AC} \right\| ^2-8^2-4^2\right)=\dfrac12\times\left( 11^2-64-16 \right)=\dfrac{41}{2}

II

Vecteurs orthogonaux

A

La caractérisation analytique

Vecteurs orthogonaux

Dans un repère orthonormal, deux vecteurs \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \cr y \end{pmatrix} et \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x' \cr y' \end{pmatrix} sont orthogonaux si et seulement si :

xx' + yy' = 0

On cherche à déterminer l'orthogonalité des vecteurs \overrightarrow{AB}\binom{4}{-3} et \overrightarrow{AC}\binom{12}{16}.

\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=4\times12+\left(-3\right)\times\left(16\right)=48-48=0

Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont donc orthogonaux.

B

Vecteur normal à une droite

Vecteur normal

Soient une droite D et un vecteur non nul \overrightarrow{n} du plan.
Le vecteur \overrightarrow{n} est normal à la droite D si et seulement s'il est orthogonal à un vecteur directeur de D.

-

Vecteur normal

Soit une droite D d'équation cartésienne ax + by + c = 0. Un vecteur normal à D est le vecteur :

\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} a \cr b \end{pmatrix}

Une droite dont une équation cartésienne est 5x-2y+7=0 a pour vecteur normal \overrightarrow{u}\binom{5}{-2}.

Il suffit de connaître un point et un vecteur normal d'une droite pour la définir.

Déterminons une équation cartésienne de la droite (d) passant par le point A\left(2;1\right) et dont un vecteur normal est \overrightarrow{u}\binom{-1}{4}.

Comme \overrightarrow{u}\binom{-1}{4} est normal à (d), (d) a une équation de la forme :

-x+4y+c=0

Or A\in \left(d\right), donc ses coordonnées vérifient l'équation de (d). On obtient :

-x_A+4y_A+c=0

D'où :

-2+4\times1+c=0

Ainsi :

c=-2

Une équation de (d) est donc :

-x+4y-2=0

C

Équation de cercles

Equation de cercle

Le cercle de centre K de rayon R admet pour équation :

\left(x - x_{K}\right)^{2} + \left(y - y_{K}\right)^{2} = R^{2}

Le cercle de centre K\left(-2;5\right) et de rayon 3 a pour équation :

\left(x+2\right)^2+\left(y-5\right)^2=9

Soit K\left(x_K;y_K\right) un point du plan.

Un point M\left(x;y\right) appartient au cercle de centre K et de rayon R si et seulement si KM=R.

Comme KM et R sont des distances, et donc sont positives :

KM=R\Leftrightarrow KM^2=R^2

Or :

KM^2=\left(x-x_K\right)^2+\left(y-y_K\right)^2

Donc un point M\left(x;y\right) appartient au cercle de centre K et de rayon R si et seulement si :

\left(x-x_K\right)^2+\left(y-y_K\right)^2=R^2.

Caractérisation d'un cercle

Soient A et B deux points distincts. Le point M appartient au cercle de diamètre [AB] si et seulement si :

\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0

-
III

Applications

A

Théorème de la médiane

Théorème de la médiane

Soient A et B deux points distincts fixés et I le milieu du segment [AB]. Pour tout point M du plan, on a :

MA^2+MB^2=2MI^2+\dfrac{AB^2}{2}

-
-

On cherche à calculer BI.

D'après le théorème de la médiane on a :

BA^2+BC^2=2BI^2+\dfrac{AC^2}{2}.

Donc :

BI^2=\dfrac12\times\left( BA^2+BC^2-\dfrac{AC^2}{2} \right)

On calcule :

BI^2=\dfrac12\times\left( 5^2+6^2-\dfrac{10^2}{2} \right)=\dfrac{11}{2}

Soit, comme une longueur est toujours positive :

BI=\sqrt{\dfrac{11}{2}}=\dfrac{\sqrt{22}}{2}

B

Théorème d'Al-Kashi

Théorème d'Al-Kashi

Dans tout triangle ABC, avec les notations de la figure ci-dessous :

a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat{A}

b^2=c^2+a^2-2ca\cos\widehat{B}

c^2=a^2+b^2-2ab\cos\widehat{C}

-
-

On cherche à calculer BC. D'après le théorème d'al-Kashi, on a :

a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat{A}

Soit :

a^2=5^2+3^2-2\times5\times3\times\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=25+9-30\times\dfrac{1}{2}=34-15=19

D'où :

a=\sqrt{19}

C

Formule des aires

Soit ABC un triangle non aplati d'aire \Gamma. On a alors, avec les mêmes notations que pour le théorème d'Al-Kashi :

\Gamma=\dfrac{1}{2}bcsin\left(\widehat{A}\right)=\dfrac{1}{2}acsin\left(\widehat{B}\right)=\dfrac{1}{2}absin\left(\widehat{C}\right)

On considère le triangle suivant :

-

L'aire du triangle ABC est :

\Gamma=\dfrac{1}{2}bcsin\left(\widehat{A}\right)

\Gamma=\dfrac{1}{2}\times5\times3\times \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)

\Gamma=\dfrac{1}{2}\times5\times3\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}

\Gamma=\dfrac{15\sqrt{3}}{4} (unités d'aire)

D

Formule des sinus

Soit ABC un triangle non aplati. On a alors, avec les mêmes notations que pour le théorème d'Al-Kashi :

\dfrac{a}{\sin\left(\widehat{A}\right)}=\dfrac{b}{\sin\left(\widehat{B}\right)}=\dfrac{c}{\sin\left(\widehat{C}\right)}

On considère le triangle suivant, dans lequel on cherche à déterminer la valeur de a :

-

D'après la formule des sinus, on a :

\dfrac{a}{\sin\left(\widehat{A}\right)}=\dfrac{b}{\sin\left(\widehat{B}\right)}

Soit :

a=\dfrac{b\times \sin\left(\widehat{A}\right)}{\sin\left(\widehat{B}\right)}

a=\dfrac{5\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)}{\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}

a=\dfrac{5\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}

a=5\times\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}

a=\dfrac{5\sqrt{6}}{2}